Determine a solução geral das EDOs separáveis abaixo.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a solução geral da equação diferencial ordinária separável
Informações dadas e objetivo claro:
- A equação diferencial é dada por
. - Quer-se a solução geral (família de soluções com constante de integração).
- Nota importante: o membro direito envolve
, então pontos com merecem atenção de domínio.
Passo 2
Separar as variáveis (colocar todos os termos com
de um lado e todos os termos com
do outro). Para isso, divido ambos os lados por
e multiplico por
:
Explicação didática: como
, podemos rearranjar isolando os fatores que dependem só de
e só de
. Aqui movi
para o denominador do lado esquerdo e
para o lado direito.
Passo 3
Antes de integrar, verificar soluções singulares que podem ter sido perdidas ao dividir por
. Ao dividir por
supomos
. Então cheque
:
- Se
para todo , então e o lado direito . Portanto é uma solução válida (solução trivial) que deve ser incluída na resposta final.
Passo 4
Agora integrar ambos os lados (para
):
Explicar as integrais:
- A integral do lado esquerdo é a integral de
. A fórmula básica é para . Aqui , então
Passo 5
Calcular a integral do lado direito. Primeiro simplificar a função racional por divisão polinomial:
Justificativa rápida da divisão: multiplica-se
por
obtendo
; subtraindo de
sobra
, logo resto
e termo final
.
Agora integrar termo a termo:
As integrais são padrões:
-
. -
. -
.
Portanto
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Juntar os resultados das integrais. Do Passo 4 obtivemos
do lado esquerdo, então
Isolar
: basta inverter e pôr sinal:
Explicação: multipliquei ambos os lados por
e depois tomei o inverso. A constante
é arbitrária (real).
Passo 7
Observações sobre domínio e constantes:
- A solução obtida é válida em intervalos onde
(pois dividimos por ) e onde a expressão dentro do denominador não é zero, e também em intervalos que não cruzem (porque e a equação original exigem ou tratá-lo separadamente). Em suma: soluções definidas em intervalos onde e onde o denominador não se anula. - Não esquecer a solução trivial
encontrada no Passo 3.