Determine a solução geral das EDOs separáveis abaixo.
\frac{d y}{d x}=\frac{x^{2} y^{2}}{1+x}

Passo 1

O enunciado pede: determinar a solução geral da equação diferencial ordinária separável
\frac{d y}{d x}=\frac{x^{2}y^{2}}{1+x}.
Informações dadas e objetivo claro:
  • A equação diferencial é dada por \dfrac{d y}{d x}=\dfrac{x^{2}y^{2}}{1+x}.
  • Quer-se a solução geral (família de soluções com constante de integração).
  • Nota importante: o membro direito envolve \dfrac{1}{1+x}, então pontos com x=-1 merecem atenção de domínio.

Passo 2

Separar as variáveis (colocar todos os termos com y de um lado e todos os termos com x do outro). Para isso, divido ambos os lados por y^{2} e multiplico por dx:
\frac{1}{y^{2}}\,dy=\frac{x^{2}}{1+x}\,dx.
Explicação didática: como \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\text{função de }x\\ \cdot\\ \text{função de }y}{1}çãçã, podemos rearranjar isolando os fatores que dependem só de y e só de x. Aqui movi y^{2} para o denominador do lado esquerdo e dx para o lado direito.

Passo 3

Antes de integrar, verificar soluções singulares que podem ter sido perdidas ao dividir por y^{2}. Ao dividir por y^{2} supomos y\neq0. Então cheque y\equiv0:
  • Se y(x)=0 para todo x, então \dfrac{dy}{dx}=0 e o lado direito \dfrac{x^{2}0^{2}}{1+x}=0. Portanto y\equiv0 é uma solução válida (solução trivial) que deve ser incluída na resposta final.

Passo 4

Agora integrar ambos os lados (para y\neq0):
\int \frac{1}{y^{2}}\,dy=\int \frac{x^{2}}{1+x}\,dx.
Explicar as integrais:
  • A integral do lado esquerdo é a integral de y^{-2}. A fórmula básica é \displaystyle \int y^{n}\,dy=\frac{y^{n+1}}{n+1} para n\neq-1. Aqui n=-2, então
\int y^{-2}\,dy=\frac{y^{-1}}{-1}=-\frac{1}{y}.

Passo 5

Calcular a integral do lado direito. Primeiro simplificar a função racional por divisão polinomial:
\frac{x^{2}}{1+x} = x-1+\frac{1}{1+x}.
Justificativa rápida da divisão: multiplica-se x+1 por x-1 obtendo x^{2}-1; subtraindo de x^{2} sobra 1, logo resto 1 e termo final \dfrac{1}{1+x}.
Agora integrar termo a termo:
\int\frac{x^{2}}{1+x}\,dx=\int\left(x-1+\frac{1}{1+x}\right)dx.
As integrais são padrões:
  • \displaystyle \int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}.
  • \displaystyle \int (-1)\,dx=-x.
  • \displaystyle \int \frac{1}{1+x}\,dx=\ln|1+x|.
    Portanto
\int\frac{x^{2}}{1+x}\,dx=\frac{x^{2}}{2}-x+\ln|1+x| + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Juntar os resultados das integrais. Do Passo 4 obtivemos -\dfrac{1}{y} do lado esquerdo, então
-\frac{1}{y}=\frac{x^{2}}{2}-x+\ln|1+x|+C.
Isolar y: basta inverter e pôr sinal:
y(x)=-\frac{1}{\dfrac{x^{2}}{2}-x+\ln|1+x|+C}.
Explicação: multipliquei ambos os lados por -1 e depois tomei o inverso. A constante C é arbitrária (real).

Passo 7

Observações sobre domínio e constantes:
  • A solução obtida é válida em intervalos onde y\neq0 (pois dividimos por y^{2}) e onde a expressão dentro do denominador não é zero, e também em intervalos que não cruzem x=-1 (porque \ln|1+x| e a equação original exigem x\neq-1 ou tratá-lo separadamente). Em suma: soluções definidas em intervalos onde 1+x\neq0 e onde o denominador \dfrac{x^{2}}{2}-x+\ln|1+x|+C não se anula.
  • Não esquecer a solução trivial y\equiv0 encontrada no Passo 3.

Resposta

y(x)=0
y(x)=-\dfrac{1}{\dfrac{x^{2}}{2}-x+\ln|1+x|+C}

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