Determine a solução geral das EDOs separáveis abaixo.
\frac{d y}{d x}=\frac{y^{3}}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede: determinar a solução geral da equação diferencial ordinária
\frac{d y}{d x}=\frac{y^{3}}{x^{2}}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A equação relaciona y e x pela razão entre y^{3} e x^{2}.
  • Deve-se encontrar a família de soluções gerais, isto é, a expressão de y em função de x envolvendo uma constante arbitrária.
  • Atenção: a manipulação algébrica abaixo dividirá por y^{3}, portanto essa manipulação assume y\neq0. A função constante y\equiv0 deve ser verificada separadamente como candidata a solução.

Passo 2

Conceito e ideia do método (explicação didática e sem pular etapas):
  • Uma equação é separável quando pode ser escrita na forma \dfrac{dy}{dx}=g(x)\,h(y). Nesse caso pode-se rearranjar para colocar todos os termos em y com dy de um lado e todos os termos em x com dx do outro, e então integrar.
  • Para a equação dada, observe que
\frac{d y}{d x}=\frac{y^{3}}{x^{2}} = y^{3}\cdot x^{-2}.
  • Como queremos colocar os y com dy e os x com dx, dividimos ambos os lados por y^{3} (assumindo y\neq0) e multiplicamos por dx. Assim obtemos a forma separada:
y^{-3}\,dy = x^{-2}\,dx.
Isto é a separação das variáveis: tudo que envolve y ficou do lado esquerdo, todo que envolve x ficou do lado direito.

Passo 3

Integrando ambos os lados (passo a passo das integrais):
  • Agora integramos cada lado em relação à sua variável.
\int y^{-3}\,dy = \int x^{-2}\,dx.
  • Calcule a integral do lado esquerdo. Para \int y^{-3}\,dy use a regra básica \int y^{n}\,dy = \dfrac{y^{n+1}}{n+1} para n\neq -1. Aqui n=-3, então
\int y^{-3}\,dy = \frac{y^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2y^{2}}.
  • Calcule a integral do lado direito. Para \int x^{-2}\,dx com n=-2,
\int x^{-2}\,dx = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}.
  • Colocando as integrais com a constante de integração C (uma única constante basta quando igualamos as primitivas), obtemos
-\frac{1}{2y^{2}} = -\frac{1}{x} + C.

Passo 4

Isolando y e renomeando constantes (álgebra cuidadosa):
  • A partir de
-\frac{1}{2y^{2}} = -\frac{1}{x} + C,
adicionamos \dfrac{1}{x} a ambos os lados:
-\frac{1}{2y^{2}} + \frac{1}{x} = C.
  • Multiplicamos ambos os lados por -2 para simplificar a expressão:
\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{x} = C_{1},
onde C_{1} = -2C é outra constante arbitrária (é sempre permitido renomear a constante).
  • Reescrevendo,
\frac{1}{y^{2}} = \frac{2}{x} + C_{1}.
Esta é uma forma implícita muito útil da solução geral (para y\neq0). Para obter y explicitamente, invertemos e extraímos raiz:
y^{2} = \frac{1}{\dfrac{2}{x} + C_{1}}.
Colocando num denominador único:
y^{2} = \frac{x}{C_{1}x + 2}.
  • Portanto as soluções explícitas são
y(x) = \pm\sqrt{\frac{x}{C_{1}x + 2}},
onde C_{1} é uma constante real arbitrária. Deve-se exigir x\neq0 (pois a equação original tem x^{2} no denominador) e também C_{1}x+2\neq0 para evitar divisão por zero; além disso a expressão dentro da raiz deve ser não negativa se se busca soluções reais (isso impõe restrições na escolha de C_{1} e do domínio de x).

Passo 5

Solução constante y\equiv0 (caso singular):
  • Como mencionado no Passo 1, ao separar dividimos por y^{3}, então perdemos a possibilidade de considerar y=0 ao longo do processo. Verifique substituindo y\equiv0 na equação original:
\frac{d y}{d x} = 0 \quad\text{e}\quad \frac{y^{3}}{x^{2}} = 0,
logo y\equiv0 satisfaz a EDO e é uma solução válida (solução singular/equilíbrio).

Resposta

y\equiv 0
\dfrac{1}{y^{2}}=\dfrac{2}{x}+C\quad (ou explicitamente \;y=\pm\sqrt{\dfrac{x}{C x+2}}, com C\in\mathbb{R}, x\neq0 e C x+2\neq0).

Exercícios relacionados