Determine a solução geral das EDOs separáveis abaixo.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a solução geral da equação diferencial ordinária
Informações dadas e observações iniciais:
- A equação relaciona
e pela razão entre e . - Deve-se encontrar a família de soluções gerais, isto é, a expressão de
em função de envolvendo uma constante arbitrária. - Atenção: a manipulação algébrica abaixo dividirá por
, portanto essa manipulação assume . A função constante deve ser verificada separadamente como candidata a solução.
Passo 2
Conceito e ideia do método (explicação didática e sem pular etapas):
- Uma equação é separável quando pode ser escrita na forma
. Nesse caso pode-se rearranjar para colocar todos os termos em com de um lado e todos os termos em com do outro, e então integrar. - Para a equação dada, observe que
- Como queremos colocar os
com e os com , dividimos ambos os lados por (assumindo ) e multiplicamos por . Assim obtemos a forma separada:
Isto é a separação das variáveis: tudo que envolve
ficou do lado esquerdo, todo que envolve
ficou do lado direito.
Passo 3
Integrando ambos os lados (passo a passo das integrais):
- Agora integramos cada lado em relação à sua variável.
- Calcule a integral do lado esquerdo. Para
use a regra básica para . Aqui , então
- Calcule a integral do lado direito. Para
com ,
- Colocando as integrais com a constante de integração
(uma única constante basta quando igualamos as primitivas), obtemos
Passo 4
Isolando
e renomeando constantes (álgebra cuidadosa):
- A partir de
adicionamos
a ambos os lados:
- Multiplicamos ambos os lados por
para simplificar a expressão:
onde
é outra constante arbitrária (é sempre permitido renomear a constante).
- Reescrevendo,
Esta é uma forma implícita muito útil da solução geral (para
). Para obter
explicitamente, invertemos e extraímos raiz:
Colocando num denominador único:
- Portanto as soluções explícitas são
onde
é uma constante real arbitrária. Deve-se exigir
(pois a equação original tem
no denominador) e também
para evitar divisão por zero; além disso a expressão dentro da raiz deve ser não negativa se se busca soluções reais (isso impõe restrições na escolha de
e do domínio de
).
Passo 5
Solução constante
(caso singular):
- Como mencionado no Passo 1, ao separar dividimos por
, então perdemos a possibilidade de considerar ao longo do processo. Verifique substituindo na equação original:
logo
satisfaz a EDO e é uma solução válida (solução singular/equilíbrio).