Calcule o limite
.
Passo 1
O enunciado pede o limite quando
tende a
do vetor
Ou seja, preciso calcular separadamente os três limites escalares:
-
. -
. -
.
As informações dadas são exatamente as expressões acima; a única operação a fazer é analisar o comportamento de cada componente quando
.
Passo 2
Cálculo do primeiro componente
.
Observação didática: raciocínio usado — funções racionais (quocientes de polinômios) são contínuas nos pontos onde o denominador não é zero. Para uma função contínua, o limite quando
tende a um ponto é simplesmente o valor da função nesse ponto (ou seja, pode-se substituir).
Aqui o denominador
em
vale
, então a função é contínua em
. Logo:
Passo 3
Cálculo do segundo componente
.
Primeiro verifico a forma indefinida:
e
, então temos
, uma forma indeterminada que exige manipulação.
Vou usar a Regra de L’Hôpital (explico brevemente):
- Regra de L’Hôpital: se
e (ou ambos ), e se e são diferenciáveis perto de com próximo a , e se o limite existe (finito ou ), então
Aplicável porque temos
e as derivadas existem nas proximidades de
.
Aplicando aqui com
e
:
Portanto, pela Regra de L’Hôpital,
Comentário alternativo (útil para a prova): outra forma é fatorar
e escrever
Sabe-se (ou prova-se pela Regra de L’Hôpital aplicada a
) que
. Como
, o produto dá
.
Passo 4
Cálculo do terceiro componente
.
Observação didática: a função
é contínua em todos os pontos reais. Composição de funções contínuas é contínua. Assim podemos apenas substituir
dentro do argumento.
Logo:
Passo 5
Juntando os resultados dos três componentes, o limite do vetor é o vetor formado pelos limites componentes a componente: