Calcule o limite \lim _{t \rightarrow 1}\left(\frac{3}{t^{2}}, \frac{\ln t}{t^{2}-1}, \operatorname{sen} \frac{\pi}{2} t\right).

Passo 1

O enunciado pede o limite quando t tende a 1 do vetor
\left(\frac{3}{t^{2}},\;\frac{\ln t}{t^{2}-1},\;\operatorname{sen}\frac{\pi}{2}t\right).
Ou seja, preciso calcular separadamente os três limites escalares:
  1. \displaystyle\lim_{t\to1}\frac{3}{t^{2}}.
  2. \displaystyle\lim_{t\to1}\frac{\ln t}{t^{2}-1}.
  3. \displaystyle\lim_{t\to1}\operatorname{sen}\frac{\pi}{2}t.
As informações dadas são exatamente as expressões acima; a única operação a fazer é analisar o comportamento de cada componente quando t\to1.

Passo 2

Cálculo do primeiro componente \displaystyle\lim_{t\to1}\frac{3}{t^{2}}.
Observação didática: raciocínio usado — funções racionais (quocientes de polinômios) são contínuas nos pontos onde o denominador não é zero. Para uma função contínua, o limite quando t tende a um ponto é simplesmente o valor da função nesse ponto (ou seja, pode-se substituir).
Aqui o denominador t^{2} em t=1 vale 1\neq0, então a função é contínua em t=1. Logo:
\lim_{t\to1}\frac{3}{t^{2}}=\frac{3}{1^{2}}=3.

Passo 3

Cálculo do segundo componente \displaystyle\lim_{t\to1}\frac{\ln t}{t^{2}-1}.
Primeiro verifico a forma indefinida: \ln 1=0 e 1^{2}-1=0, então temos 0/0, uma forma indeterminada que exige manipulação.
Vou usar a Regra de L’Hôpital (explico brevemente):
  • Regra de L’Hôpital: se \lim_{t\to a} f(t)=0 e \lim_{t\to a} g(t)=0 (ou ambos \pm\infty), e se f e g são diferenciáveis perto de a com g'(t)\neq0 próximo a a, e se o limite \lim_{t\to a}\frac{f'(t)}{g'(t)} existe (finito ou \pm\infty), então
\lim_{t\to a}\frac{f(t)}{g(t)}=\lim_{t\to a}\frac{f'(t)}{g'(t)}.
Aplicável porque temos 0/0 e as derivadas existem nas proximidades de t=1.
Aplicando aqui com f(t)=\ln t e g(t)=t^{2}-1:
f'(t)=\frac{1}{t},\qquad g'(t)=2t.
Portanto, pela Regra de L’Hôpital,
\lim_{t\to1}\frac{\ln t}{t^{2}-1}=\lim_{t\to1}\frac{\tfrac{1}{t}}{2t}=\lim_{t\to1}\frac{1}{2t^{2}}=\frac{1}{2\cdot1^{2}}=\frac{1}{2}.
Comentário alternativo (útil para a prova): outra forma é fatorar t^{2}-1=(t-1)(t+1) e escrever
\frac{\ln t}{t^{2}-1}=\frac{\ln t}{t-1}\cdot\frac{1}{t+1}.
Sabe-se (ou prova-se pela Regra de L’Hôpital aplicada a \ln t/(t-1)) que \displaystyle\lim_{t\to1}\frac{\ln t}{t-1}=1. Como \lim_{t\to1}\frac{1}{t+1}=\frac{1}{2}, o produto dá 1\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.

Passo 4

Cálculo do terceiro componente \displaystyle\lim_{t\to1}\operatorname{sen}\frac{\pi}{2}t.
Observação didática: a função \operatorname{sen} x é contínua em todos os pontos reais. Composição de funções contínuas é contínua. Assim podemos apenas substituir t=1 dentro do argumento.
Logo:
\lim_{t\to1}\operatorname{sen}\frac{\pi}{2}t=\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2}\cdot 1\right)=\operatorname{sen}\frac{\pi}{2}=1.

Passo 5

Juntando os resultados dos três componentes, o limite do vetor é o vetor formado pelos limites componentes a componente:
\left(3,\;\frac{1}{2},\;1\right).

Resposta

\left(3,\tfrac{1}{2},1\right)

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