Esboce a curva por eliminação do parâmetro e indique o sentido crescente de t crescente.
a) x=2 cos t, y=5 sen t, 0 <= t <= 2 pi
b) x=raizt, y=2 t+4
c) x=sec ^2 t, y=tg^2 t, -pi2

Passo 1

O enunciado pede que a gente desenhe cada curva eliminando o parâmetro e, em seguida, indique o sentido de crescimento quando o parâmetro t aumenta.

Passo 2

Para (a) temos
Eliminando t:
x2=cos t, y5=sin t
Logo
l(x2r)^2+l(y5r)^2=cos^2t+sin^2t=1
É uma elipse centrada na origem com semi-eixo maior 5 no eixo y e semi-eixo menor 2 no eixo x. Quando t=0 estamos em (2,0) e, à medida que t cresce, o ponto percorre a elipse no sentido anti-horário.

Passo 3

Para (b) temos
Eliminando t:
x=raizt implies t=x^2
Substituindo em y:
y=2t+4=2x^2+4
É uma parábola com vértice em (0,4), mas só existe para x\ge0 (já que x=\sqrt{t}). Quando t cresce, x aumenta e y aumenta — o ponto sobe e se afasta da origem pelo ramo direito da parábola.

Passo 4

Para © temos
Eliminando t:
x=sec^2t, y=tan^2t
Usando a identidade 1+tan^2t=sec^2t, obtemos
x=1+y
É a reta y=x-1 para x\ge1 (pois \sec^2t\ge1). Quando t→-\frac\pi2^+ e t→\frac\pi2^-, tanto x quanto y vão a +∞; em t=0 temos (1,0). Assim, ao aumentar t de -\frac\pi2 até 0, o ponto vai de infinito até (1,0), e de 0 até \frac\pi2 volta de (1,0) para o infinito ao longo da reta.

Resposta

a) x²/4+y²/25=1, elipse centrada na origem, sentido anti-horário a partir de (2,0). b) y=2x²+4, ramo de parábola para x≥0, sentido de t crescente leva o ponto subindo e afastando-se da origem. c) reta y=x-1 para x≥1, t crescente arrasta o ponto de infinito até (1,0) e depois de (1,0) de volta ao infinito.

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