calcule o limite.
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{4}-1}{x^{3}-1}.

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 1}\frac{x^{4}-1}{x^{3}-1}.
Informações dadas:
  • A expressão é uma razão de polinômios: numerador x^{4}-1 e denominador x^{3}-1.
  • O ponto de interesse é x\to 1.

Passo 2

Testar substituição direta: calcular numerador e denominador em x=1.
1^{4}-1=0,\qquad 1^{3}-1=0.
Logo a substituição direta dá a forma indeterminada 0/0. Isso significa que precisamos manipular a expressão (fatorar, simplificar ou usar outro método) antes de substituir.
Breve explicação didática: a forma 0/0 não informa o limite; pode haver um valor finito, infinito ou não existir. Por isso simplificamos a expressão para eliminar a causa da indeterminação.

Passo 3

Usar fatoração de diferença de potências. A fórmula útil é: para n inteiro positivo,
a^{n}-b^{n}=(a-b)\bigl(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1}\bigr).
Aqui usamos com a=x e b=1.
Exemplo simples (para intuir): (x^{2}-1)=(x-1)(x+1). É o mesmo tipo de fatoração, só com n=2.

Passo 4

Aplicar a fatoração ao numerador e denominador:
x^{4}-1=(x-1)(x^{3}+x^{2}+x+1),
x^{3}-1=(x-1)(x^{2}+x+1).

Passo 5

Substituir as fatorações na razão e simplificar o fator comum (x-1). Como estamos calculando um limite quando x\to 1, consideramos x\neq 1 nas simplificações locais, então é válido cancelar (x-1):
\frac{x^{4}-1}{x^{3}-1} =\frac{(x-1)(x^{3}+x^{2}+x+1)}{(x-1)(x^{2}+x+1)} =\frac{x^{3}+x^{2}+x+1}{x^{2}+x+1},\qquad (x\neq 1).
Explicação: cancelar uma fator comum que é zero em x=1 é permitido ao calcular limite porque o limite considera valores de x próximos de 1, mas distintos de 1. Após o cancelamento obtemos uma função contínua perto de x=1.

Passo 6

Agora podemos substituir x=1 na expressão simplificada (continua no ponto):
\lim_{x\to 1}\frac{x^{3}+x^{2}+x+1}{x^{2}+x+1} =\frac{1^{3}+1^{2}+1+1}{1^{2}+1+1} =\frac{1+1+1+1}{1+1+1}.
Calcular os somatórios:
\frac{4}{3}.

Passo 7

Interpretação final: o limite existe e vale \dfrac{4}{3}. Método usado foi fatoração para remover a indeterminação 0/0. Esse é um procedimento padrão e frequentemente o mais simples em limites envolvendo polinômios.

Resposta

\dfrac{4}{3}

Exercícios relacionados