calcule o limite.
.
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas:
- A expressão é uma razão de polinômios: numerador
e denominador . - O ponto de interesse é
.
Passo 2
Testar substituição direta: calcular numerador e denominador em
.
Logo a substituição direta dá a forma indeterminada
. Isso significa que precisamos manipular a expressão (fatorar, simplificar ou usar outro método) antes de substituir.
Breve explicação didática: a forma
não informa o limite; pode haver um valor finito, infinito ou não existir. Por isso simplificamos a expressão para eliminar a causa da indeterminação.
Passo 3
Usar fatoração de diferença de potências. A fórmula útil é: para
inteiro positivo,
Aqui usamos com
e
.
Exemplo simples (para intuir):
. É o mesmo tipo de fatoração, só com
.
Passo 4
Aplicar a fatoração ao numerador e denominador:
Passo 5
Substituir as fatorações na razão e simplificar o fator comum
. Como estamos calculando um limite quando
, consideramos
nas simplificações locais, então é válido cancelar
:
Explicação: cancelar uma fator comum que é zero em
é permitido ao calcular limite porque o limite considera valores de
próximos de
, mas distintos de
. Após o cancelamento obtemos uma função contínua perto de
.
Passo 6
Agora podemos substituir
na expressão simplificada (continua no ponto):
Calcular os somatórios:
Passo 7
Interpretação final: o limite existe e vale
. Método usado foi fatoração para remover a indeterminação
. Esse é um procedimento padrão e frequentemente o mais simples em limites envolvendo polinômios.