Dado que
encontre, se existir, o limite. Caso não exista, explique por quê.
.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes limites:
A pergunta é achar, se existir, o valor de
Observação: o valor de
foi informado, mas não aparece explicitamente na expressão pedida; pode ser irrelevante.
Passo 2
Vou lembrar duas propriedades básicas de limites que vou usar (explicadas de forma simples):
- Limite de múltiplo constante: se
e é constante, então
Intuição: multiplicar a função por uma constante multiplica também seu limite.
- Limite de quociente: se
e com , então
Intuição: quando os dois limites existem e o limite do denominador não é zero, pode-se simplesmente dividir os limites.
Essas propriedades seguem das definições de limite e são as regras padrão que se usa em prova para combinar limites.
Passo 3
Aplico a propriedade do múltiplo constante ao numerador. Como
e o numerador é
, temos
Passo 4
Pegamos o limite do denominador diretamente do enunciado:
Importante: esse limite é diferente de zero (
), portanto a condição para usar a regra do quociente está satisfeita.
Passo 5
Agora uso a regra do quociente (Passo 2): como
e
, vale
Passo 6
Comentário final e incentivo: o procedimento foi direto porque os limites dados existem e o denominador tende a um número não nulo — essa é a situação ideal. Se o limite do denominador fosse
, teríamos que analisar com mais cuidado (podendo não existir ou ser
dependendo do comportamento).