Dado que
\lim _{x \rightarrow 2} f(x)=4 \quad \lim _{x \rightarrow 2} g(x)=-2 \quad \lim _{x \rightarrow 2} h(x)=0
encontre, se existir, o limite. Caso não exista, explique por quê.
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{3 f(x)}{g(x)}.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes limites:
\lim_{x\to2} f(x)=4,\qquad \lim_{x\to2} g(x)=-2,\qquad \lim_{x\to2} h(x)=0.
A pergunta é achar, se existir, o valor de
\lim_{x\to2}\frac{3\,f(x)}{g(x)}.
Observação: o valor de \lim_{x\to2} h(x) foi informado, mas não aparece explicitamente na expressão pedida; pode ser irrelevante.

Passo 2

Vou lembrar duas propriedades básicas de limites que vou usar (explicadas de forma simples):
  • Limite de múltiplo constante: se \lim_{x\to a} f(x)=L e c é constante, então
\lim_{x\to a} c\,f(x)=c\cdot L.
Intuição: multiplicar a função por uma constante multiplica também seu limite.
  • Limite de quociente: se \lim_{x\to a} f(x)=L e \lim_{x\to a} g(x)=M com M\neq 0, então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{M}.
Intuição: quando os dois limites existem e o limite do denominador não é zero, pode-se simplesmente dividir os limites.
Essas propriedades seguem das definições de limite e são as regras padrão que se usa em prova para combinar limites.

Passo 3

Aplico a propriedade do múltiplo constante ao numerador. Como \lim_{x\to2} f(x)=4 e o numerador é 3\,f(x), temos
\lim_{x\to2} 3\,f(x)=3\cdot \lim_{x\to2} f(x)=3\cdot 4=12.

Passo 4

Pegamos o limite do denominador diretamente do enunciado:
\lim_{x\to2} g(x)=-2.
Importante: esse limite é diferente de zero ( -2\neq0), portanto a condição para usar a regra do quociente está satisfeita.

Passo 5

Agora uso a regra do quociente (Passo 2): como \lim_{x\to2} 3f(x)=12 e \lim_{x\to2} g(x)=-2\neq0, vale
\lim_{x\to2}\frac{3\,f(x)}{g(x)}=\frac{12}{-2}=-6.

Passo 6

Comentário final e incentivo: o procedimento foi direto porque os limites dados existem e o denominador tende a um número não nulo — essa é a situação ideal. Se o limite do denominador fosse 0, teríamos que analisar com mais cuidado (podendo não existir ou ser \pm\infty dependendo do comportamento).

Resposta

-6

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