Aqui essa regra NÃO é aplicável porque \lim_{x\to2} h(x)=0. Ou seja, a hipótese M\neq0 falha, então não se pode simplesmente fazer -2/0 e obter um número finito.
Passo 3
Mostrando que não pode haver um limite finito: como \lim_{x\to2} g(x)=-2 e -2\neq0, existe um intervalo em torno de 2 em que g(x) fica afastado de zero. Por exemplo, existe \delta>0 tal que, para 0<|x-2|<\delta,
Como \lim_{x\to2} h(x)=0, o denominador |h(x)| fica arbitrariamente pequeno quando x\to2, portanto \dfrac{1}{|h(x)|}\to\infty. Da desigualdade acima segue que \left|g(x)/h(x)\right| fica arbitrariamente grande quando x\to2. Assim o quociente não pode tender a um número finito — seu módulo diverge para infinito.
Passo 4
O sinal e a existência do limite no sentido estendido dependem de como h(x) se aproxima de 0 (por valores positivos, negativos ou alternando). Alguns exemplos concretos que satisfazem os limites dados e mostram comportamentos diferentes:
Exemplo 1 (vai para -\infty): tome g(x)=-2 (constante) e h(x)=(x-2)^2. Então \lim_{x\to2}g(x)=-2, \lim_{x\to2}h(x)=0 e
Exemplo 3 (não existe nem como infinito): tome g(x)=-2 e h(x)=x-2. Então, ao aproximar por x\to2^+ tem-se h(x)>0 e \dfrac{g(x)}{h(x)}\to -\infty; ao aproximar por x\to2^- tem-se h(x)<0 e \dfrac{g(x)}{h(x)}\to +\infty. Assim o limite bilateral não existe, mesmo na forma estendida.
Esses exemplos mostram que, com a informação dada, o quociente pode divergir para -\infty, para +\infty ou nem mesmo ter um mesmo sinal infinito nos dois lados — depende do comportamento de h perto de 2.
Passo 5
Conclusão prática e dica para prova: sempre verifique se o limite do denominador é zero antes de aplicar a regra do quociente. Se o denominador tende a zero e o numerador tende a uma constante diferente de zero, então o limite NÃO pode ser um número finito (o módulo diverge). Para decidir se o limite diverge para +\infty, -\infty ou não existe mesmo, é preciso informação adicional sobre o sinal e a velocidade com que h(x) se aproxima de zero.
Resposta
O limite não existe como número finito (o quociente diverge em módulo). Dependendo de como h(x) se aproxima de 0 o quociente pode tender a -\infty, a +\infty ou não ter limite mesmo na forma estendida; com os dados fornecidos não é possível determinar qual desses casos ocorre.