Calcule o limite: \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x+\operatorname{sen}(4 x)}{x+\operatorname{sen}(3 x)}.

Passo 1

Enunciado: Calcular o limite
\lim_{x\to 0} \frac{x+\operatorname{sen}(4x)}{x+\operatorname{sen}(3x)}.
O que o enunciado dá:
  • A função no numerador é x+\operatorname{sen}(4x).
  • A função no denominador é x+\operatorname{sen}(3x).
    O que se pede:
  • Avaliar o valor do limite quando x tende a 0.

Passo 2

Verificação da forma indeterminada: avaliar numerador e denominador em x=0.
x+\operatorname{sen}(4x)\Big|_{x=0}=0+\operatorname{sen}(0)=0,
x+\operatorname{sen}(3x)\Big|_{x=0}=0+\operatorname{sen}(0)=0.
Portanto a forma é \frac{0}{0}, que é indeterminada — precisamos trabalhar o limite com ferramentas (identidades e limites básicos).

Passo 3

Ferramenta básica usada aqui: o limite trigonométrico fundamental
\lim_{t\to 0}\frac{\operatorname{sen} t}{t}=1.
Vou justificar rapidamente (intuição clássica): para t pequeno e positivo, na circunferência unitária tem-se as desigualdades
\operatorname{sen} t < t < \operatorname{tg} t.
Dividindo por \operatorname{sen} t (positivo) obtemos
1 < \frac{t}{\operatorname{sen} t} < \frac{1}{\cos t}.
Invertendo os termos e passando ao limite quando t\to 0 (onde \cos t\to 1) surge
\lim_{t\to 0}\frac{\operatorname{sen} t}{t}=1.
Esse limite é um dos pilares para tratar pequenas aproximações de \operatorname{sen}.

Passo 4

Aplicar o limite fundamental a \operatorname{sen}(4x). Faça a mudança t=4x. Quando x\to 0, temos t\to 0. Então
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(4x)}{4x}=1.
Multiplicando por 4 (regra de limites: constante sai da fração),
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(4x)}{x}=4\cdot\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(4x)}{4x}=4.

Passo 5

Análogo para \operatorname{sen}(3x): com t=3x vem
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(3x)}{x}=3\cdot\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(3x)}{3x}=3.

Passo 6

Reescrever a expressão fatorando x no numerador e no denominador:
\frac{x+\operatorname{sen}(4x)}{x+\operatorname{sen}(3x)} =\frac{x\left(1+\dfrac{\operatorname{sen}(4x)}{x}\right)}{x\left(1+\dfrac{\operatorname{sen}(3x)}{x}\right)} =\frac{1+\dfrac{\operatorname{sen}(4x)}{x}}{1+\dfrac{\operatorname{sen}(3x)}{x}}.
Agora podemos tomar limite termo a termo, usando os limites obtidos nos passos anteriores.

Passo 7

Aplicando os resultados dos passos 4 e 5:
\lim_{x\to 0}\left(1+\frac{\operatorname{sen}(4x)}{x}\right)=1+4=5,
\lim_{x\to 0}\left(1+\frac{\operatorname{sen}(3x)}{x}\right)=1+3=4.
Logo, pelo teorema do quociente de limites (denominador não nulo no limite),
\lim_{x\to 0}\frac{x+\operatorname{sen}(4x)}{x+\operatorname{sen}(3x)}=\frac{5}{4}.

Passo 8

Observação rápida (verificação alternativa): poderíamos também usar desenvolvimento em série (expansão de Taylor) para \operatorname{sen}(kx)=kx-\dfrac{(kx)^3}{6}+\cdots. Substituindo daria numerador \approx x+4x=5x e denominador \approx x+3x=4x, resultando em 5/4, mesma resposta — isso confirma o resultado.

Resposta

\dfrac{5}{4}

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