Calcule o limite:
.
Passo 1
Enunciado: Calcular o limite
O que o enunciado dá:
- A função no numerador é
. - A função no denominador é
.
O que se pede: - Avaliar o valor do limite quando
tende a .
Passo 2
Verificação da forma indeterminada: avaliar numerador e denominador em
.
Portanto a forma é
, que é indeterminada — precisamos trabalhar o limite com ferramentas (identidades e limites básicos).
Passo 3
Ferramenta básica usada aqui: o limite trigonométrico fundamental
Vou justificar rapidamente (intuição clássica): para
pequeno e positivo, na circunferência unitária tem-se as desigualdades
Dividindo por
(positivo) obtemos
Invertendo os termos e passando ao limite quando
(onde
) surge
Esse limite é um dos pilares para tratar pequenas aproximações de
.
Passo 4
Aplicar o limite fundamental a
. Faça a mudança
. Quando
, temos
. Então
Multiplicando por
(regra de limites: constante sai da fração),
Passo 5
Análogo para
: com
vem
Passo 6
Reescrever a expressão fatorando
no numerador e no denominador:
Agora podemos tomar limite termo a termo, usando os limites obtidos nos passos anteriores.
Passo 7
Aplicando os resultados dos passos 4 e 5:
Logo, pelo teorema do quociente de limites (denominador não nulo no limite),
Passo 8
Observação rápida (verificação alternativa): poderíamos também usar desenvolvimento em série (expansão de Taylor) para
. Substituindo daria numerador
e denominador
, resultando em
, mesma resposta — isso confirma o resultado.