O valor do limite
é:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o limite
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A expressão tem um valor absoluto
. - O denominador é
, que é zero apenas em . - O ponto de interesse é
, que é diferente de (logo a função está bem definida em pontos próximos de , exceto em que não está próximo de ). - Precisamos ter cuidado com o comportamento de
quando se aproxima de .
Passo 2
Entendendo o valor absoluto e qual ramo usar: por definição
Como estamos calculando o limite quando
, podemos escolher um intervalo em torno de
onde todos os
são negativos. Por exemplo, se
então
, todos negativos. Logo, para
suficientemente próximo de
vale
e, portanto,
Isso nos permite substituir
por
ao simplificar a expressão para o cálculo do limite.]
Passo 3
Substituindo
(válido para
perto de
) na expressão, temos
Agora calcule o numerador:
Portanto a expressão simplifica para
Passo 4
Simplificação algébrica adicional: note que em uma vizinhança de
temos
, logo podemos cancelar um fator
no numerador e denominador:
Assim, para
suficientemente próximo de
a função original coincide com
.
Passo 5
Cálculo do limite usando continuidade: a função racional
é contínua em todos os pontos onde o denominador é não nulo. Como
não anula o denominador, podemos calcular o limite pela substituição:
Obs.: ambos os limites laterais (pela direita e pela esquerda de
) coincidem porque em torno de
os
são negativos e usamos o mesmo ramo
, então não há descontinuidade ou diferença entre os lados.