O valor do limite \lim _{x \rightarrow-1}\left(\frac{2 x-|x|}{x^{2}}\right) é:

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x\to -1}\left(\frac{2x-|x|}{x^{2}}\right).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão tem um valor absoluto |x|.
  • O denominador é x^{2}, que é zero apenas em x=0.
  • O ponto de interesse é x=-1, que é diferente de 0 (logo a função está bem definida em pontos próximos de -1, exceto em 0 que não está próximo de -1).
  • Precisamos ter cuidado com o comportamento de |x| quando x se aproxima de -1.

Passo 2

Entendendo o valor absoluto e qual ramo usar: por definição
|x| = \begin{cases} x, & \text{se } x\ge 0,\\[4pt] -x, & \text{se } x<0. \end{cases}
Como estamos calculando o limite quando x\to -1, podemos escolher um intervalo em torno de -1 onde todos os x são negativos. Por exemplo, se |x+1|<\tfrac{1}{2} então x\in(-1{,}5,-0{,}5), todos negativos. Logo, para x suficientemente próximo de -1 vale x<0 e, portanto,
|x| = -x \quad\text{quando } x \text{ está próximo de } -1.áó
Isso nos permite substituir |x| por -x ao simplificar a expressão para o cálculo do limite.]

Passo 3

Substituindo |x|=-x (válido para x perto de -1) na expressão, temos
\frac{2x-|x|}{x^{2}} = \frac{2x-(-x)}{x^{2}}.
Agora calcule o numerador:
2x-(-x)=2x+x=3x.
Portanto a expressão simplifica para
\frac{3x}{x^{2}}.

Passo 4

Simplificação algébrica adicional: note que em uma vizinhança de -1 temos x\neq 0, logo podemos cancelar um fator x no numerador e denominador:
\frac{3x}{x^{2}} = \frac{3}{x}\quad\text{para }x\neq 0.
Assim, para x suficientemente próximo de -1 a função original coincide com 3/x.

Passo 5

Cálculo do limite usando continuidade: a função racional x\mapsto\frac{3}{x} é contínua em todos os pontos onde o denominador é não nulo. Como -1 não anula o denominador, podemos calcular o limite pela substituição:
\lim_{x\to -1}\frac{3}{x}=\frac{3}{-1}=-3.
Obs.: ambos os limites laterais (pela direita e pela esquerda de -1) coincidem porque em torno de -1 os x são negativos e usamos o mesmo ramo |x|=-x, então não há descontinuidade ou diferença entre os lados.

Resposta

-3

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