Calcule
, onde
e
é a elipse
orientada no sentido anti-horário.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular
, onde
e
é a elipse
orientada no sentido anti-horário.
Informações relevantes dadas no enunciado:
A curva
é fechada, simples e tem centro em
, logo ela encerra o ponto
. Note que
não está definida em
(há singularidade em
).
(A partir daqui começamos a resolver.)
(A partir daqui começamos a resolver.)
Passo 2
Estratégia escolhida (explicada de forma didática): como
tem uma parte com singularidade em
e outra parte suave, é conveniente separar
em duas parcelas:
onde
e
Motivo:
é a parte singular (está ligada ao ângulo polar) e
é suave em toda a região interior da elipse. Vamos calcular as contribuições de cada uma separadamente e somá-las, porque a integral é linear:
Passo 3
Cálculo da integral de
. Primeiro, dou uma pequena aula sobre o que é
. Em coordenadas polares, escrevendo
,
, temos a função ângulo
. Usando derivadas,
Portanto
Interpretação prática:
é o gradiente do ângulo polar
. Agora a propriedade chave: a integral de uma derivada de uma função escalar ao longo de uma curva é a variação da função entre os extremos. Para curva fechada,
Ao percorrer
uma vez no sentido anti-horário em torno da origem, o ângulo
aumenta em
(aumenta uma volta completa). Logo, a integral de
sobre
vale
Observação pedagógica curta: isso é equivalente à afirmação de que
tem circulação
em qualquer curva simples que rodeie a origem uma vez no sentido positivo (a integral é
vezes o número de voltas — o índice ou número de enrolamento).
Passo 4
Cálculo da integral de
. Agora
é um campo vetorial suave (derivadas parciais contínuas) na região interior da elipse, portanto podemos aplicar o Teorema de Green (para campos do plano): para
,
onde
é a região interior à curva
. Aqui
e
, então
Portanto
Calculamos a área da elipse dada por
. Uma elipse com semi-eixos
e
tem área
. Aqui
e
, então
Logo
Passo 5
Somando as contribuições das duas parcelas: