Calcule \int_{\gamma} \vec{F} \cdot \mathrm{~d} \vec{r}, onde \vec{F}(x, y)=-\frac{y}{\left(x^{2}+y^{2}\right)} \vec{i}+\left(\frac{x}{\left(x^{2}+y^{2}\right)}+3 x\right) \vec{j} e \gamma é a elipse \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1 orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular \displaystyle \int_{\gamma} \vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{r}, onde
\vec{F}(x,y)= -\frac{y}{\left(x^{2}+y^{2}\right)}\vec{i}+\left(\frac{x}{\left(x^{2}+y^{2}\right)}+3x\right)\vec{j},
e \gamma é a elipse \displaystyle \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1 orientada no sentido anti-horário.
Informações relevantes dadas no enunciado:
P(x,y)=-\frac{y}{x^{2}+y^{2}},\qquad Q(x,y)=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}+3x.
A curva \gamma é fechada, simples e tem centro em (0,0), logo ela encerra o ponto (0,0). Note que \vec{F} não está definida em (0,0) (há singularidade em x^{2}+y^{2}=0).
(A partir daqui começamos a resolver.)

Passo 2

Estratégia escolhida (explicada de forma didática): como \vec{F} tem uma parte com singularidade em (0,0) e outra parte suave, é conveniente separar \vec{F} em duas parcelas:
\vec{F}=\vec{F}_1+\vec{F}_2,
onde
\vec{F}_1(x,y)=\left(-\frac{y}{x^{2}+y^{2}},\;\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\right)
e
\vec{F}_2(x,y)=(0,\;3x).
Motivo: \vec{F}_1 é a parte singular (está ligada ao ângulo polar) e \vec{F}_2 é suave em toda a região interior da elipse. Vamos calcular as contribuições de cada uma separadamente e somá-las, porque a integral é linear:
\int_{\gamma}\vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{r}=\int_{\gamma}\vec{F}_1\cdot\mathrm{d}\vec{r}+\int_{\gamma}\vec{F}_2\cdot\mathrm{d}\vec{r}.

Passo 3

Cálculo da integral de \vec{F}_1. Primeiro, dou uma pequena aula sobre o que é \vec{F}_1. Em coordenadas polares, escrevendo x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, temos a função ângulo \theta=\operatorname{atan2}(y,x). Usando derivadas,
\frac{\partial\theta}{\partial x}=-\frac{y}{x^{2}+y^{2}},\qquad \frac{\partial\theta}{\partial y}=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}.
Portanto
\vec{F}_1=\nabla\theta.
Interpretação prática: \vec{F}_1 é o gradiente do ângulo polar \theta. Agora a propriedade chave: a integral de uma derivada de uma função escalar ao longo de uma curva é a variação da função entre os extremos. Para curva fechada,
\int_{\gamma}\nabla\theta\cdot\mathrm{d}\vec{r}=\Delta\theta\\ \text{ao percorrer }\gamma.
Ao percorrer \gamma uma vez no sentido anti-horário em torno da origem, o ângulo \theta aumenta em 2\pi (aumenta uma volta completa). Logo, a integral de \vec{F}_1 sobre \gamma vale
\int_{\gamma}\vec{F}_1\cdot\mathrm{d}\vec{r}=2\pi.
Observação pedagógica curta: isso é equivalente à afirmação de que \vec{F}_1 tem circulação 2\pi em qualquer curva simples que rodeie a origem uma vez no sentido positivo (a integral é 2\pi vezes o número de voltas — o índice ou número de enrolamento).

Passo 4

Cálculo da integral de \vec{F}_2. Agora \vec{F}_2=(0,3x) é um campo vetorial suave (derivadas parciais contínuas) na região interior da elipse, portanto podemos aplicar o Teorema de Green (para campos do plano): para \vec{G}=(P,Q),
\int_{\gamma}\vec{G}\cdot\mathrm{d}\vec{r}=\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm{d}A,
onde D é a região interior à curva \gamma. Aqui P_2=0 e Q_2=3x, então
\frac{\partial Q_2}{\partial x}-\frac{\partial P_2}{\partial y}=3-0=3.
Portanto
\int_{\gamma}\vec{F}_2\cdot\mathrm{d}\vec{r}=\iint_{D} 3\\ \mathrm{d}A = 3\cdot \operatorname{Area}(D).
Calculamos a área da elipse dada por \displaystyle \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1. Uma elipse com semi-eixos a e b tem área \pi a b. Aqui a=2 e b=3, então
\operatorname{Area}(D)=\pi\cdot 2\cdot 3 = 6\pi.
Logo
\int_{\gamma}\vec{F}_2\cdot\mathrm{d}\vec{r}=3\cdot 6\pi = 18\pi.

Passo 5

Somando as contribuições das duas parcelas:
\int_{\gamma}\vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{r}=\int_{\gamma}\vec{F}_1\cdot\mathrm{d}\vec{r}+\int_{\gamma}\vec{F}_2\cdot\mathrm{d}\vec{r}=2\pi+18\pi=20\pi.

Resposta

20\pi

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