Calcule os limites que existem, sabendo que
\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=-\frac{1}{2} \quad \text { e } \quad \lim _{x \rightarrow 0} g(x)=\frac{1}{2}
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{g(x)}

Passo 1

O enunciado dá explicitamente os limites
\lim_{x\to 0} f(x) = -\tfrac{1}{2} \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to 0} g(x) = \tfrac{1}{2},
e pede para calcular
\lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{g(x)}.

Passo 2

Vamos lembrar uma propriedade essencial de limites (sem pular passos): se
\lim_{x\to a} f(x) = L \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to a} g(x) = M
e se M\neq 0, então vale
\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M}.
Por que essa regra é válida? Intuitivamente, quando g(x) fica cada vez mais perto de M e M não é zero, então para x suficientemente perto de a temos g(x) também não nulo e próximo de M, de modo que 1/g(x) fica próximo de 1/M. Como f(x) fica próximo de L, o produto f(x)\cdot(1/g(x)) fica próximo de L\cdot(1/M)=L/M. Formalmente isso usa a propriedade de limite do produto e o fato de que a função inversa t\mapsto 1/t é contínua em pontos diferentes de zero.

Passo 3

Verifiquemos a condição necessária: o limite de g é
M=\tfrac{1}{2},
e de fato M\neq 0. Logo podemos aplicar a propriedade do passo anterior.

Passo 4

Aplicando a regra do quociente de limites temos
\lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\displaystyle\lim_{x\to 0} f(x)}{\displaystyle\lim_{x\to 0} g(x)} = \frac{-\tfrac{1}{2}}{\tfrac{1}{2}}.
Agora faça a conta das frações passo a passo:
\frac{-\tfrac{1}{2}}{\tfrac{1}{2}} = -\tfrac{1}{2}\cdot\frac{2}{1} = -1.

Passo 5

Interpretação rápida para ganhar confiança: mesmo que f(x) e g(x) variem perto de 0, se eles se estabilizam em -\tfrac{1}{2} e \tfrac{1}{2} respectivamente, então suas razões também se estabilizam em -1. Isso é exatamente o que mostramos acima — e é uma situação típica que aparece em provas: sempre cheque se o limite do denominador é diferente de zero antes de aplicar a regra do quociente.

Resposta

-1

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