Calcule os limites que existem, sabendo que
Passo 1
O enunciado dá explicitamente os limites
e pede para calcular
Passo 2
Vamos lembrar uma propriedade essencial de limites (sem pular passos): se
e se
, então vale
Por que essa regra é válida? Intuitivamente, quando
fica cada vez mais perto de
e
não é zero, então para
suficientemente perto de
temos
também não nulo e próximo de
, de modo que
fica próximo de
. Como
fica próximo de
, o produto
fica próximo de
. Formalmente isso usa a propriedade de limite do produto e o fato de que a função inversa
é contínua em pontos diferentes de zero.
Passo 3
Verifiquemos a condição necessária: o limite de
é
e de fato
. Logo podemos aplicar a propriedade do passo anterior.
Passo 4
Aplicando a regra do quociente de limites temos
Agora faça a conta das frações passo a passo:
Passo 5
Interpretação rápida para ganhar confiança: mesmo que
e
variem perto de
, se eles se estabilizam em
e
respectivamente, então suas razões também se estabilizam em
. Isso é exatamente o que mostramos acima — e é uma situação típica que aparece em provas: sempre cheque se o limite do denominador é diferente de zero antes de aplicar a regra do quociente.