Calcule o limite.
\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(x^{2}-x^{3}\right) e^{2 x}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to -\infty}\bigl(x^{2}-x^{3}\bigr)e^{2x}.
Aqui o conteúdo é limite de produto entre um polinômio em x e uma exponencial de coeficiente positivo no expoente. Vamos usar a ideia de que, quando x\to -\infty, a parte exponencial e^{2x} tende a zero muito mais rápido que qualquer potência de x tende a infinito.

Passo 2

Primeiro, fatoramos a maior potência de x no polinômio:
(x^{2}-x^{3}) = -\,x^{3}\Bigl(1-\tfrac1x\Bigr).
Portanto
(x^{2}-x^{3})e^{2x} = -\,x^{3}\Bigl(1-\tfrac1x\Bigr)e^{2x}.

Passo 3

Para deixar claro o comportamento quando x\to -\infty, fazemos a troca t = -x, de modo que t\to +\infty. Então:
-\,x^{3}\Bigl(1-\tfrac1x\Bigr)e^{2x} = -\,(-t)^{3}\Bigl(1+\tfrac1t\Bigr)e^{-2t} = t^{3}\Bigl(1+\tfrac1t\Bigr)e^{-2t}.

Passo 4

Agora, conforme t\to+\infty, o fator t^{3}(1+\tfrac1t) cresce como t^3, mas e^{-2t} decai exponencialmente. É um fato clássico que
\lim_{t\to+\infty} t^{3}e^{-2t} = 0,
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\lim_{t\to+\infty} t^{3}\Bigl(1+\tfrac1t\Bigr)e^{-2t} = 0.
Isso mostra que o limite original é zero.

Resposta

0

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