Calcule o limite.
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{e^{4 x}-1-4 x}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to\infty}\frac{e^{4x}-1-4x}{x^{2}}
O conteúdo principal é o estudo de limites envolvendo formas indeterminadas do tipo \tfrac{\infty}{\infty} e a aplicação da regra de l’Hôpital, sabendo que \tfrac{d}{dx}e^{4x}=4e^{4x}.

Passo 2

Observamos que, quando x\to\infty, o numerador \,e^{4x}-1-4x\to\infty e o denominador x^2\to\infty, gerando a forma indeterminada \tfrac{\infty}{\infty}. Aplicando a regra de l’Hôpital pela primeira vez, derivamos numerador e denominador:
f(x)=e^{4x}-1-4x\quad\Rightarrow\quad f'(x)=4e^{4x}-4,
g(x)=x^2\quad\Rightarrow\quad g'(x)=2x.
Logo,
\lim_{x\to\infty}\frac{e^{4x}-1-4x}{x^2} =\lim_{x\to\infty}\frac{4e^{4x}-4}{2x}.

Passo 3

A nova expressão ainda é \tfrac{\infty}{\infty}, pois 4e^{4x}-4\to\infty e 2x\to\infty. Aplicamos l’Hôpital pela segunda vez:
f'(x)=4e^{4x}-4\quad\Rightarrow\quad f''(x)=16e^{4x},
g'(x)=2x\quad\Rightarrow\quad g''(x)=2.
Assim,
\lim_{x\to\infty}\frac{4e^{4x}-4}{2x} =\lim_{x\to\infty}\frac{16e^{4x}}{2} =\lim_{x\to\infty}8e^{4x} =\infty.

Resposta

\infty

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