Calcule o limite.
\lim _{x \rightarrow \pi^{-}}(x-\pi) \operatorname{cossec} x

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to\pi^-}(x-\pi)\,\csc x
Isso envolve uma forma do tipo 0\cdot\infty. Vamos reescrever em quociente e usar o limite trigonométrico fundamental.

Passo 2

Usando \csc x = 1/\sin x, temos
(x-\pi)\,\csc x = \frac{x-\pi}{\sin x}.

Passo 3

Faça a mudança de variável h = x-\pi. Quando x\to\pi^-, h\to0^- e x = \pi + h. Além disso,
\sin x = \sin(\pi+h) = -\sin h.
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\frac{x-\pi}{\sin x} = \frac{h}{-\sin h} = -\frac{h}{\sin h}.

Passo 4

Lembrando que
\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \lim_{h\to0}\frac{h}{\sin h} = 1,
segue
\lim_{x\to\pi^-}(x-\pi)\,\csc x = \lim_{h\to0^-}\Bigl(-\frac{h}{\sin h}\Bigr) = -1.

Resposta

-1

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