Calcule o limite.
\lim _{x \rightarrow 1^{-}}\left(\frac{x}{x-1}-\frac{1}{\ln x}\right)

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to1^-}\Bigl(\frac{x}{x-1}-\frac{1}{\ln x}\Bigr).
Esse limite é do tipo “ \infty - \infty”, pois quando x\to1^- temos x/(x-1)\to -\infty e 1/\ln x\to -\infty. Para resolver, vamos usar a expansão em série de Taylor de \ln x em torno de x=1.

Passo 2

Colocamos x=1+h com h\to0^-. Então
\ln x = \ln(1+h) = h - \frac{h^2}{2} + O(h^3).
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\frac{1}{\ln x} = \frac{1}{h\bigl(1 - \tfrac{h}{2} + O(h^2)\bigr)} = \frac{1}{h}\,\frac{1}{1 - \tfrac{h}{2} + O(h^2)} = \frac{1}{h}\Bigl(1 + \frac{h}{2} + O(h^2)\Bigr) = \frac{1}{h} + \frac12 + O(h).

Passo 3

Agora expandimos o outro termo:
\frac{x}{x-1} = \frac{1+h}{h} = \frac{1}{h} + 1.
Subtraindo as duas expansões:
\frac{x}{x-1} - \frac{1}{\ln x} = \Bigl(\frac{1}{h}+1\Bigr) -\Bigl(\frac{1}{h}+\tfrac12+O(h)\Bigr) = 1 - \tfrac12 + O(h) = \tfrac12 + O(h).
Como h\to0, o termo O(h) some, restando \tfrac12.

Resposta

\displaystyle \frac12

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