Calcule o limite:
m) (2010-1) \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{x^{2}}\right)^{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
(2010-1)\,\lim_{x\to+\infty}\Bigl(1+\frac{1}{x^{2}}\Bigr)^{x}.
O conteúdo é limite de uma expressão da forma \bigl(1+u(x)\bigr)^{v(x)}, onde u(x)=1/x^{2} e v(x)=x. Vamos usar a representação exponencial para tratar desse tipo de limite.

Passo 2

Observe que
\Bigl(1+\frac{1}{x^{2}}\Bigr)^{x} =\exp\Bigl(x\ln\bigl(1+\tfrac{1}{x^{2}}\bigr)\Bigr).
Portanto basta encontrar o limite do expoente
x\ln\Bigl(1+\frac{1}{x^{2}}\Bigr) \quad\text{quando }x\to+\infty.

Passo 3

Para x grande temos a expansão em série
\ln\Bigl(1+\frac{1}{x^{2}}\Bigr) =\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{2x^{4}}+o\bigl(x^{-4}\bigr).
Multiplicando por x,
x\ln\Bigl(1+\frac{1}{x^{2}}\Bigr) =x\Bigl(\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{2x^{4}}+o(x^{-4})\Bigr) =\frac{1}{x}-\frac{1}{2x^{3}}+o(x^{-3}),
que tende a 0 quando x\to+\infty.

Passo 4

Logo
\lim_{x\to+\infty} \Bigl(1+\frac{1}{x^{2}}\Bigr)^{x} =\exp\bigl(0\bigr) =1.

Passo 5

Multiplicando por (2010-1)=2009, temos
2009\cdot 1=2009.

Resposta

2009

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