Calcule o limite:
p) (2014-2) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2} e^{x}}{\operatorname{sen}^{2}(3 x)}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
(2014 - 2)\,\lim_{x \to 0} \frac{x^{2} e^{x}}{\sin^{2}(3x)}.
O conteúdo aqui é cálculo de limite de tipo \frac{0}{0} usando expansão em série de Taylor (ou equivalentes) para funções elementares próximas de zero.

Passo 2

Verificamos a forma do limite quando x \to 0:
- x^{2} e^{x} \to 0\cdot1 = 0.
- \sin^{2}(3x)\to 0.
Portanto é um caso indeterminado \tfrac{0}{0}.

Passo 3

Usamos as expansões para x pequeno:
e^{x} = 1 + x + O(x^{2}), \qquad \sin(3x) = 3x + O(x^{3}).
Logo
\sin^{2}(3x) = (3x)^{2} + O(x^{4}) = 9x^{2} + O(x^{4}).
Substituindo no quociente, obtemos
\frac{x^{2} e^{x}}{\sin^{2}(3x)} = \frac{x^{2}\bigl(1 + x + O(x^{2})\bigr)}{9x^{2} + O(x^{4})} = \frac{1 + x + O(x^{2})}{9 + O(x^{2})} \longrightarrow \frac{1}{9} \quad\text{quando }x\to0.

Passo 4

Multiplicando pelo fator externo (2014-2)=2012, o valor pedido é
2012 \times \frac{1}{9} = \frac{2012}{9}.

Resposta

\frac{2012}{9}.

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