Calcule o limite:
k) (2010-1) \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\

Passo 1

A gente quer calcular o seguinte limite:
L = (2010 - 1)\,\lim_{x\to0^+}\Bigl(\tfrac{1}{x} - \tfrac{1}{\sqrt{x}}\Bigr).
Aqui o conteúdo é manipular limites que vão para infinito quando x se aproxima de zero pela direita.

Passo 2

Como 2010-1=2009 é constante, trazemos para fora do limite:
L = 2009 \,\lim_{x\to0^+}\Bigl(\tfrac{1}{x} - \tfrac{1}{\sqrt{x}}\Bigr).
Basta, então, estudar o comportamento do limite interno.

Passo 3

Vamos reescrever o diferencial de frações com denominador comum:
\tfrac{1}{x} - \tfrac{1}{\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x} - x}{x\,\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x}(1 - \sqrt{x})}{x\,\sqrt{x}} = \frac{1 - \sqrt{x}}{x}.
Quando x\to0^+, temos \sqrt{x}\to0, então
\frac{1 - \sqrt{x}}{x}\sim \frac{1}{x}\;\longrightarrow\;+ \infty.
Logo, o limite interno diverge para +\infty.

Passo 4

Multiplicando por 2009, obtemos
L = 2009\times(+\infty) = +\infty.

Resposta

O limite diverge para +\infty.

Exercícios relacionados