Calcule o limite ou mostre que não existe:
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{1}{x-1}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\displaystyle \lim_{x\to1} \frac{1}{x-1}.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=\dfrac{1}{x-1}.
  • O ponto onde x se aproxima é x=1.
    Pergunta: calcular o limite quando x tende a 1, ou mostrar que esse limite não existe.

Passo 2

Ideia chave (sem pular etapas): para limites na forma \lim_{x\to a} g(x) precisamos olhar para as aproximações por ambos os lados de a. Se as aproximações pela direita e pela esquerda (os limites laterais) convergirem para o mesmo número finito, então o limite bilateral existe e é esse número. Se os limites laterais forem diferentes ou um deles divergir para \pm\infty de forma diferente do outro, o limite bilateral não existe (pelo menos como número finito).
Aqui o denominador x-1 tende a 0 quando x\to1, e isso geralmente causa crescimento sem limite (divergência). Então é natural calcular primeiro os limites laterais:
\lim_{x\to1^+} (pela direita) e \lim_{x\to1^-} (pela esquerda).

Passo 3

Cálculo do limite pela direita. Tomemos x>1. Escrevendo x=1+h com h>0 e h\to0^+, temos
\displaystyle \frac{1}{x-1}=\frac{1}{h}.
Quando h\to0^+, o valor 1/h cresce sem limite, ou seja tende a +\infty.
Prova mais formal do crescimento: seja qualquer M>0. Escolha \delta=\dfrac{1}{M}. Se 0<x-1<\delta então
\displaystyle \frac{1}{x-1}>\frac{1}{\delta}=M.
Como isso vale para todo M>0, concluímos
\displaystyle \lim_{x\to1^+}\frac{1}{x-1}=+\infty.

Passo 4

Cálculo do limite pela esquerda. Tomemos x<1. Escrevendo x=1+h com h<0 e h\to0^-, temos
\displaystyle \frac{1}{x-1}=\frac{1}{h}.
Agora h é negativo e |h|\to0^+, então 1/h é negativo e seu valor absoluto cresce sem limite, isto é tende a -\infty.
Prova formal: seja qualquer N>0. Escolha \delta=\dfrac{1}{N}. Se -\delta<x-1<0 então x-1 é negativo com |x-1|<\delta, logo
\displaystyle \frac{1}{x-1}<-\frac{1}{\delta}=-N.
Como isso vale para todo N>0, concluímos
\displaystyle \lim_{x\to1^-}\frac{1}{x-1}=-\infty.

Passo 5

Conclusão sobre o limite bilateral: os limites laterais são diferentes (um vai para +\infty e o outro para -\infty), portanto o limite bilateral \displaystyle \lim_{x\to1}\frac{1}{x-1} não existe como número finito. Em linguagem de comportamento, a função tem uma assimptota vertical em x=1, com sinais opostos dos dois lados.

Resposta

Não existe. \displaystyle \lim_{x\to1^+}\frac{1}{x-1}=+\infty,\quad \lim_{x\to1^-}\frac{1}{x-1}=-\infty.

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