Calcule o limite ou mostre que não existe:
Passo 1
O enunciado pede o limite
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
. - O ponto onde
se aproxima é .
Pergunta: calcular o limite quandotende a , ou mostrar que esse limite não existe.
Passo 2
Ideia chave (sem pular etapas): para limites na forma
precisamos olhar para as aproximações por ambos os lados de
. Se as aproximações pela direita e pela esquerda (os limites laterais) convergirem para o mesmo número finito, então o limite bilateral existe e é esse número. Se os limites laterais forem diferentes ou um deles divergir para
de forma diferente do outro, o limite bilateral não existe (pelo menos como número finito).
Aqui o denominador tende a
quando
, e isso geralmente causa crescimento sem limite (divergência). Então é natural calcular primeiro os limites laterais:
(pela direita) e
(pela esquerda).
Aqui o denominador
Passo 3
Cálculo do limite pela direita. Tomemos
. Escrevendo
com
e
, temos
Quando , o valor
cresce sem limite, ou seja tende a
.
Prova mais formal do crescimento: seja qualquer . Escolha
. Se
então
Como isso vale para todo , concluímos
Quando
Prova mais formal do crescimento: seja qualquer
Como isso vale para todo
Passo 4
Cálculo do limite pela esquerda. Tomemos
. Escrevendo
com
e
, temos
Agora é negativo e
, então
é negativo e seu valor absoluto cresce sem limite, isto é tende a
.
Prova formal: seja qualquer . Escolha
. Se
então
é negativo com
, logo
Como isso vale para todo , concluímos
Agora
Prova formal: seja qualquer
Como isso vale para todo
Passo 5
Conclusão sobre o limite bilateral: os limites laterais são diferentes (um vai para
e o outro para
), portanto o limite bilateral
não existe como número finito. Em linguagem de comportamento, a função tem uma assimptota vertical em
, com sinais opostos dos dois lados.
Resposta
Não existe.