Determine o domínio e a imagem das seguintes funções:
.
Passo 1
O enunciado dá a função
com
restrito ao intervalo
. O que é pedido:
- Determinar o domínio de
(ou seja, todos os em para os quais está bem definida). - Determinar a imagem de
(ou seja, todos os valores possíveis de quando varia no domínio).
Informações relevantes que temos do enunciado:
- A operação
exige que o radicando seja maior ou igual a zero. - O argumento do radicando é
. - O domínio possível inicial é
; devemos selecionar, dentro desse intervalo, os tais que .
Passo 2
Impor a condição de existência da raiz: como a raiz quadrada de número real pede radicando não-negativo, exigimos
A resolução do problema de domínio consiste em achar todos os
que satisfazem essa desigualdade.
Passo 3
Para simplificar, faça a substituição
. Então:
A condição fica
Passo 4
Lembrando o comportamento da função seno:
ocorre nos arcos do círculo unitário que correspondem ao 1.º e 2.º quadrantes, isto é, para intervalos da forma
onde
é inteiro (esses são os blocos onde o seno é não negativo). Agora intersecte isso com
. Para os valores de
que interessam (aqueles cujo intervalo corta
) obtemos os seguintes subintervalos em
:
Além disso, o ponto isolado
também satisfaz
, e está no extremo do intervalo
.
Passo 5
Volte para
dividindo cada intervalo em
por
. Assim:
e o ponto
corresponde a
. Portanto, os
em
que satisfazem
são exatamente os que pertencem à união desses intervalos e ao ponto
.
Passo 6
Escrevendo o domínio resultante de forma organizada:
Observação prática: em cada um desses intervalos a função
é contínua e varia entre
e
(atingindo ambos), exceto que o valor
aparece também em pontos de fronteira como
.
Passo 7
Agora a imagem. Para
no domínio,
e como
em cada bloco varia entre
e
inclusive, o valor de
varia entre
e
. Verificações:
- O valor
é atingido (por exemplo em ), pois nesses pontos. - O valor
é atingido quando , isto é, quando , ou . Esses valores estão dentro de (por exemplo está em ), então pertence à imagem. - Pelas propriedades de continuidade do seno e da raiz (em cada intervalo onde
), todos os valores entre e também são atingidos (teorema do valor intermédio aplicado em cada intervalo).
Logo a imagem é o intervalo fechado
.