Determine o domínio e a imagem das seguintes funções:
f(x)=\sqrt{\operatorname{sen}(2 x)}, \operatorname{com} x \in[0,4 \pi].

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\sqrt{\operatorname{sen}(2x)} com x restrito ao intervalo [0,4\pi]. O que é pedido:
  • Determinar o domínio de f (ou seja, todos os x em [0,4\pi] para os quais f(x) está bem definida).
  • Determinar a imagem de f (ou seja, todos os valores possíveis de f(x) quando x varia no domínio).
Informações relevantes que temos do enunciado:
  • A operação \sqrt{\;\cdot\;} exige que o radicando seja maior ou igual a zero.
  • O argumento do radicando é \operatorname{sen}(2x).
  • O domínio possível inicial é x\in[0,4\pi]; devemos selecionar, dentro desse intervalo, os x tais que \operatorname{sen}(2x)\ge 0.

Passo 2

Impor a condição de existência da raiz: como a raiz quadrada de número real pede radicando não-negativo, exigimos
\operatorname{sen}(2x)\ge 0.
A resolução do problema de domínio consiste em achar todos os x\in[0,4\pi] que satisfazem essa desigualdade.

Passo 3

Para simplificar, faça a substituição \theta=2x. Então:
x\in[0,4\pi]\quad\Longrightarrow\quad \theta=2x\in[0,8\pi].
A condição fica
\operatorname{sen}\theta\ge 0,\qquad \theta\in[0,8\pi].

Passo 4

Lembrando o comportamento da função seno: \operatorname{sen}\theta\ge 0 ocorre nos arcos do círculo unitário que correspondem ao 1.º e 2.º quadrantes, isto é, para intervalos da forma
\theta\in[2k\pi,\,(2k+1)\pi],
onde k é inteiro (esses são os blocos onde o seno é não negativo). Agora intersecte isso com [0,8\pi]. Para os valores de k que interessam (aqueles cujo intervalo corta [0,8\pi]) obtemos os seguintes subintervalos em \theta:
[0,\pi],\quad [2\pi,3\pi],\quad [4\pi,5\pi],\quad [6\pi,7\pi].
Além disso, o ponto isolado \theta=8\pi também satisfaz \operatorname{sen}(8\pi)=0, e está no extremo do intervalo [0,8\pi].

Passo 5

Volte para x dividindo cada intervalo em \theta por 2. Assim:
[0,\pi]\mapsto\left[0,\frac{\pi}{2}\right],
[2\pi,3\pi]\mapsto\left[\pi,\frac{3\pi}{2}\right],
[4\pi,5\pi]\mapsto\left[2\pi,\frac{5\pi}{2}\right],
[6\pi,7\pi]\mapsto\left[3\pi,\frac{7\pi}{2}\right],
e o ponto \theta=8\pi corresponde a x=4\pi. Portanto, os x em [0,4\pi] que satisfazem \operatorname{sen}(2x)\ge 0 são exatamente os que pertencem à união desses intervalos e ao ponto 4\pi.

Passo 6

Escrevendo o domínio resultante de forma organizada:
\operatorname{Dom}(f)=\left[0,\frac{\pi}{2}\right]\cup\left[\pi,\frac{3\pi}{2}\right]\cup\left[2\pi,\frac{5\pi}{2}\right]\cup\left[3\pi,\frac{7\pi}{2}\right]\cup\{4\pi\}.
Observação prática: em cada um desses intervalos a função \operatorname{sen}(2x) é contínua e varia entre 0 e 1 (atingindo ambos), exceto que o valor 0 aparece também em pontos de fronteira como x=4\pi.

Passo 7

Agora a imagem. Para x no domínio, f(x)=\sqrt{\operatorname{sen}(2x)} e como \operatorname{sen}(2x) em cada bloco varia entre 0 e 1 inclusive, o valor de f(x) varia entre \sqrt{0}=0 e \sqrt{1}=1. Verificações:
  • O valor 0 é atingido (por exemplo em x=0,\;x=\tfrac{\pi}{2},\;x=\pi,\;\ldots,\;x=4\pi), pois \operatorname{sen}(2x)=0 nesses pontos.
  • O valor 1 é atingido quando \operatorname{sen}(2x)=1, isto é, quando 2x=\tfrac{\pi}{2}+2k\pi, ou x=\tfrac{\pi}{4}+k\pi. Esses valores estão dentro de [0,4\pi] (por exemplo x=\tfrac{\pi}{4} está em \left[0,\tfrac{\pi}{2}\right]), então 1 pertence à imagem.
  • Pelas propriedades de continuidade do seno e da raiz (em cada intervalo onde \operatorname{sen}(2x)\ge0), todos os valores entre 0 e 1 também são atingidos (teorema do valor intermédio aplicado em cada intervalo).
Logo a imagem é o intervalo fechado [0,1].

Resposta

\operatorname{Dom}(f)=\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]\cup\left[\pi,\dfrac{3\pi}{2}\right]\cup\left[2\pi,\dfrac{5\pi}{2}\right]\cup\left[3\pi,\dfrac{7\pi}{2}\right]\cup\{4\pi\}
\operatorname{Im}(f)=[0,1]

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