Determine o domínio e a imagem das seguintes funções:
f(x)=\sqrt{-x+5}.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\sqrt{-x+5} e pede duas coisas:
  • Determinar o domínio de f (todos os valores de x para os quais f(x) está bem definida).
  • Determinar a imagem (conjunto de valores possíveis de f(x) quando x varia no domínio).
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão dentro da raiz é -x+5.
  • A raiz quadrada principal \sqrt{\cdot} só produz números reais quando o radicando é maior ou igual a zero, e sempre retorna um número não negativo.

Passo 2

Condição para o domínio: para f(x) ser real precisa valer
-x+5 \ge 0.
Agora resolvemos essa desigualdade passo a passo.

Passo 3

Resolver -x+5 \ge 0:
-x+5 \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad -x \ge -5.
Ao multiplicar ou dividir uma desigualdade por um número negativo o sentido da desigualdade se inverte. Multiplicando ambos os lados por -1 (que é negativo) obtemos
x \le 5.
Portanto todos os x reais menores ou iguais a 5 satisfazem a condição do radicando.
Conclusão do domínio: o conjunto de todos os x que funcionam é
(-\infty,5].

Passo 4

Verificações rápidas para fixar a ideia (exemplos concretos):
  • Se x=5 então f(5)=\sqrt{-5+5}=\sqrt{0}=0 (válido).
  • Se x=0 então f(0)=\sqrt{-0+5}=\sqrt{5} (válido).
  • Se x=6 então o radicando é -6+5=-1<0, logo f(6) não é real (logo 6 não pertence ao domínio).

Passo 5

Agora a imagem (conjunto de valores de saída). Primeiro observação: a raiz quadrada principal sempre retorna valores não negativos, então
f(x)\ge 0\quad\text{para todo }x\text{ no domínio},í
logo a imagem está contida em [0,\infty).
Para ver se todo y\ge 0 é realmente atingido por f, fazemos o processo inverso: tome um y\ge 0 e tente achar x tal que y=\sqrt{-x+5}. Elevando ao quadrado:
y^2 = -x+5 \quad\Longrightarrow\quad x = 5 - y^2.
Para qualquer y\ge 0 a quantidade x=5-y^2 é um número real e satisfaz x\le 5 (porque -y^2\le 0), logo esse x está no domínio. Portanto para todo y\ge 0 existe x no domínio com f(x)=y.
Conclusão da imagem: todos os y\ge 0 são atingidos, ou seja,
[0,\infty).

Resposta

Domínio: (-\infty,5]
Imagem: [0,\infty)

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