Determine o domínio e a imagem das seguintes funções:
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- Determinar o domínio de
(todos os valores de para os quais está bem definida). - Determinar a imagem (conjunto de valores possíveis de
quando varia no domínio).
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão dentro da raiz é
. - A raiz quadrada principal
só produz números reais quando o radicando é maior ou igual a zero, e sempre retorna um número não negativo.
Passo 2
Condição para o domínio: para
ser real precisa valer
Agora resolvemos essa desigualdade passo a passo.
Passo 3
Resolver
:
Ao multiplicar ou dividir uma desigualdade por um número negativo o sentido da desigualdade se inverte. Multiplicando ambos os lados por
(que é negativo) obtemos
Portanto todos os
reais menores ou iguais a
satisfazem a condição do radicando.
Conclusão do domínio: o conjunto de todos os
que funcionam é
Passo 4
Verificações rápidas para fixar a ideia (exemplos concretos):
- Se
então (válido). - Se
então (válido). - Se
então o radicando é , logo não é real (logo não pertence ao domínio).
Passo 5
Agora a imagem (conjunto de valores de saída). Primeiro observação: a raiz quadrada principal sempre retorna valores não negativos, então
logo a imagem está contida em
.
Para ver se todo
é realmente atingido por
, fazemos o processo inverso: tome um
e tente achar
tal que
. Elevando ao quadrado:
Para qualquer
a quantidade
é um número real e satisfaz
(porque
), logo esse
está no domínio. Portanto para todo
existe
no domínio com
.
Conclusão da imagem: todos os
são atingidos, ou seja,
Resposta
Domínio:
Imagem:
Imagem: