Informações dadas: a função é a razão entre um numerador que tende a 0 quando (x,y)\to(0,0) (pois x^{6}+y^{6}\to0) e um denominador que também tende a 0 (pois x^{2}+y^{2}-xy\to0). Precisamos determinar se a razão tem limite finito (qual) ou não existe.
Passo 2
Estratégia intuitiva: o numerador é de ordem aproximadamente r^{6} (onde r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}) e o denominador é de ordem aproximadamente r^{2}. Se conseguirmos mostrar que o denominador não é “muito menor” que r^{2} (isto é, existe uma constante positiva c tal que x^{2}+y^{2}-xy \ge c\,(x^{2}+y^{2}) perto da origem) então a razão será ao menos da ordem r^{4} e portanto tende a 0. Vamos demonstrar isso com desigualdades explícitas.
Passo 3
Uma desigualdade útil para o numerador: coloque a=x^{2} e b=y^{2}, ambos não negativos. Então
a^{3}+b^{3}\le (a+b)^{3},
pois (a+b)^{3}=a^{3}+b^{3}+3ab(a+b) e o termo extra 3ab(a+b) é não negativo. Voltando às variáveis originais,
Aqui usei que para pontos próximos da origem o denominador é positivo (a identidade do passo 4 mostra que ele é \ge\tfrac{1}{2}(x^{2}+y^{2})\ge0; fora da origem é estritamente >0 salvo em (0,0)).
Passo 6
Como (x^{2}+y^{2})\to 0 quando (x,y)\to(0,0), temos (x^{2}+y^{2})^{2}\to 0. Pela desigualdade do passo 5 deduz-se
logo a razão tende a 0. Para ficar totalmente formal em termos \epsilon-\delta: dado \epsilon>0, escolha \delta=\min\{1,(\epsilon/2)^{1/4}\}. Se \sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta então x^{2}+y^{2}<\delta^{2}\le (\epsilon/2)^{1/2}, daí 2(x^{2}+y^{2})^{2}<\epsilon e portanto a desigualdade acima garante que o valor absoluto da razão é <\epsilon. Isso mostra que o limite é 0.