Calcule o limite ou mostre que não existe
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas:
e o ponto de interesse é
. Note que a função não está definida no ponto
(pois
), então devemos estudar o comportamento ao nos aproximarmos de
.
Passo 2
Vou usar identidades trigonométricas úteis para reescrever numerador e denominador de forma que possamos simplificar. As identidades que vou usar são:
Essas identidades vêm da fórmula de duplicação de seno e das relações entre seno/cosseno de meio-ângulo.
Passo 3
Reescrevo
usando
:
Passo 4
Reescrevo a parte que envolve
:
Agora somo com
para obter o numerador:
Fatorando
:
Passo 5
Reescrevo o denominador usando
:
Portanto a expressão original fica
Desde que
(ou seja, fora do ponto
), podemos cancelar o fator comum e obter:
Passo 6
Agora que a expressão se reduz a
para todos os pontos próximos a
(exceto o próprio ponto), basta calcular o limite de
quando
. Note que essa expressão depende apenas de
e a função
é contínua em
. Logo,
Resposta
2