Calcule o limite ou mostre que não existe
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\operatorname{sen}^{2}(x)+y^{2}+y^{2} \cos (x)}{1-\cos (x)+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{\operatorname{sen}^{2}(x)+y^{2}+y^{2}\cos(x)}{1-\cos(x)+y^{2}}.
Informações dadas:
\text{numerador}=\operatorname{sen}^{2}(x)+y^{2}+y^{2}\cos(x),
\text{denominador}=1-\cos(x)+y^{2},
e o ponto de interesse é (x,y)\to(0,0). Note que a função não está definida no ponto (0,0) (pois 1-\cos(0)+0=0), então devemos estudar o comportamento ao nos aproximarmos de (0,0).

Passo 2

Vou usar identidades trigonométricas úteis para reescrever numerador e denominador de forma que possamos simplificar. As identidades que vou usar são:
\sin(x)=2\sin\!\left(\frac{x}{2}\right)\cos\!\left(\frac{x}{2}\right),
1-\cos(x)=2\sin^{2}\!\left(\frac{x}{2}\right),
1+\cos(x)=2\cos^{2}\!\left(\frac{x}{2}\right).
Essas identidades vêm da fórmula de duplicação de seno e das relações entre seno/cosseno de meio-ângulo.

Passo 3

Reescrevo \sin^{2}(x) usando \sin(x)=2\sin\!\left(\frac{x}{2}\right)\cos\!\left(\frac{x}{2}\right):
\sin^{2}(x)=\bigl(2\sin\!\left(\tfrac{x}{2}\right)\cos\!\left(\tfrac{x}{2}\right)\bigr)^{2}=4\sin^{2}\!\left(\tfrac{x}{2}\right)\cos^{2}\!\left(\tfrac{x}{2}\right).

Passo 4

Reescrevo a parte que envolve y^{2}:
y^{2}+y^{2}\cos(x)=y^{2}\bigl(1+\cos(x)\bigr)=y^{2}\cdot 2\cos^{2}\!\left(\tfrac{x}{2}\right).
Agora somo com \sin^{2}(x) para obter o numerador:
\sin^{2}(x)+y^{2}+y^{2}\cos(x) =4\sin^{2}\!\left(\tfrac{x}{2}\right)\cos^{2}\!\left(\tfrac{x}{2}\right)+2y^{2}\cos^{2}\!\left(\tfrac{x}{2}\right).
Fatorando 2\cos^{2}\!\left(\tfrac{x}{2}\right):
\sin^{2}(x)+y^{2}+y^{2}\cos(x) =2\cos^{2}\!\left(\tfrac{x}{2}\right)\bigl(2\sin^{2}\!\left(\tfrac{x}{2}\right)+y^{2}\bigr).

Passo 5

Reescrevo o denominador usando 1-\cos(x)=2\sin^{2}\!\left(\tfrac{x}{2}\right):
1-\cos(x)+y^{2}=2\sin^{2}\!\left(\tfrac{x}{2}\right)+y^{2}.
Portanto a expressão original fica
\frac{\sin^{2}(x)+y^{2}+y^{2}\cos(x)}{1-\cos(x)+y^{2}} =\frac{2\cos^{2}\!\left(\tfrac{x}{2}\right)\bigl(2\sin^{2}\!\left(\tfrac{x}{2}\right)+y^{2}\bigr)}{2\sin^{2}\!\left(\tfrac{x}{2}\right)+y^{2}}.
Desde que 2\sin^{2}\!\left(\tfrac{x}{2}\right)+y^{2}\neq 0 (ou seja, fora do ponto (0,0)), podemos cancelar o fator comum e obter:
\frac{\sin^{2}(x)+y^{2}+y^{2}\cos(x)}{1-\cos(x)+y^{2}}=2\cos^{2}\!\left(\tfrac{x}{2}\right).

Passo 6

Agora que a expressão se reduz a 2\cos^{2}\!\left(\tfrac{x}{2}\right) para todos os pontos próximos a (0,0) (exceto o próprio ponto), basta calcular o limite de 2\cos^{2}\!\left(\tfrac{x}{2}\right) quando (x,y)\to(0,0). Note que essa expressão depende apenas de x e a função \cos^{2}\!\left(\tfrac{x}{2}\right) é contínua em x=0. Logo,
\lim_{(x,y)\to(0,0)}2\cos^{2}\!\left(\tfrac{x}{2}\right)=2\cos^{2}\!\left(0\right)=2\cdot 1=2.

Resposta

2

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