Calcule o limite ou mostre que não existe
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{2^{x^{2}} 4^{y^{2}}-1}{x^{2}+2 y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{2^{x^{2}}\,4^{y^{2}}-1}{x^{2}+2y^{2}}.
Informações dadas:
\text{expressão: }\frac{2^{x^{2}}\,4^{y^{2}}-1}{x^{2}+2y^{2}}, \qquad\text{ponto de interesse: }(x,y)=(0,0).ã
O que precisamos encontrar é o valor — se existir — desse limite quando (x,y) se aproxima de (0,0).

Passo 2

Primeira simplificação algébrica: note que 4^{y^{2}}=(2^{2})^{y^{2}}=2^{2y^{2}}. Então o numerador fica
2^{x^{2}}\,4^{y^{2}}=2^{x^{2}}\,2^{2y^{2}}=2^{x^{2}+2y^{2}}.
Portanto a expressão original se reduz para
\frac{2^{x^{2}+2y^{2}}-1}{x^{2}+2y^{2}}.

Passo 3

Fazemos a substituição auxiliar
t := x^{2}+2y^{2}.
Observe que t\ge 0 para todo (x,y) e, quando (x,y)\to(0,0), temos t\to 0^{+}. Assim a expressão fica uma função de uma única variável t:
\frac{2^{t}-1}{t},
e o limite bidimensional passa a ser o limite unidimensional quando t\to 0^{+}. Justificativa intuitiva: a combinação x^{2}+2y^{2} é contínua, então podemos estudar o limite em termos de t.

Passo 4

Escrevemos 2^{t} com a exponencial natural para usar um limite padrão:
2^{t}=e^{t\ln 2}.
Logo
\frac{2^{t}-1}{t}=\frac{e^{t\ln 2}-1}{t}.
Agora separamos um fator \ln 2:
\frac{e^{t\ln 2}-1}{t} =\ln 2\cdot\frac{e^{t\ln 2}-1}{t\ln 2}.

Passo 5

Usamos o limite conhecido (que pode ser visto como a derivada de e^{u} em u=0 ou pela série de Taylor):
\lim_{u\to 0}\frac{e^{u}-1}{u}=1.
Na nossa expressão faça u=t\ln 2. Quando t\to 0 temos u\to 0. Portanto
\lim_{t\to 0}\frac{e^{t\ln 2}-1}{t\ln 2}=1.
Multiplicando pelo fator \ln 2 obtém-se
\lim_{t\to 0}\frac{e^{t\ln 2}-1}{t}=\ln 2.

Passo 6

Conclusão: o limite unidimensional em t existe e vale \ln 2. Como essa transformação foi equivalente à expressão original em (x,y), o limite bidimensional também existe e tem o mesmo valor. Um pequeno cheque por caminhos: se tomarmos y=0 obtemos \lim_{x\to 0}\frac{2^{x^{2}}-1}{x^{2}}=\ln 2; se tomarmos x=0 obtemos \lim_{y\to 0}\frac{4^{y^{2}}-1}{2y^{2}}=\ln 2. Ambos confirmam o mesmo resultado, coerente com a substituição por t.

Resposta

\ln 2

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