Calcule o limite ou mostre que não existe
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
O que precisamos encontrar é o valor — se existir — desse limite quando
se aproxima de
.
Passo 2
Primeira simplificação algébrica: note que
. Então o numerador fica
Portanto a expressão original se reduz para
Passo 3
Fazemos a substituição auxiliar
Observe que
para todo
e, quando
, temos
. Assim a expressão fica uma função de uma única variável
:
e o limite bidimensional passa a ser o limite unidimensional quando
. Justificativa intuitiva: a combinação
é contínua, então podemos estudar o limite em termos de
.
Passo 4
Escrevemos
com a exponencial natural para usar um limite padrão:
Logo
Agora separamos um fator
:
Passo 5
Usamos o limite conhecido (que pode ser visto como a derivada de
em
ou pela série de Taylor):
Na nossa expressão faça
. Quando
temos
. Portanto
Multiplicando pelo fator
obtém-se
Passo 6
Conclusão: o limite unidimensional em
existe e vale
. Como essa transformação foi equivalente à expressão original em
, o limite bidimensional também existe e tem o mesmo valor. Um pequeno cheque por caminhos: se tomarmos
obtemos
; se tomarmos
obtemos
. Ambos confirmam o mesmo resultado, coerente com a substituição por
.