Calcule o limite ou mostre que não existe lim (x, y) (0,0) tan ^2(x)+sen^2(y)sec (x)-cos (y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O problema é calcular o limite da função tan^2(x)+sen^2(y)sec (x)-cos (y) quando (x, y) se aproxima de (0,0). Esse exercício envolve conceitos de limites em funções de duas variáveis e trigonometria. Para resolver, vamos precisar entender as aproximações de funções trigonométricas para valores próximos de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que, quando x e y são bem pequenos, podemos aproximar as funções trigonométricas por suas séries de Taylor simplificadas. Isso facilita bastante na hora de calcular o limite. As aproximações que vamos usar são:
  • tan(x) approx x
  • sen(y) approx y
  • sec(x) approx 1 + x^22
  • cos(y) approx 1 - y^22

Passo 3

Agora, vamos substituir essas aproximações na expressão original:
Numerador:
tan^2(x) + sen^2(y) approx x^2 + y^2
Denominador:
sec(x) - cos(y) approx (1 + x^22) - (1 - y^22) = x^2 + y^22

Passo 4

Com as aproximações, a expressão do limite fica assim:
x^2 + y^2x^2 + y^22
Podemos simplificar dividindo o numerador pelo denominador:
x^2 + y^2x^2 + y^22 = 2

Resposta

Portanto, o limite é igual a 2.

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