Calcule o limite ou mostre que não existe
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O problema é calcular o limite da função
quando
se aproxima de
. Esse exercício envolve conceitos de limites em funções de duas variáveis e trigonometria. Para resolver, vamos precisar entender as aproximações de funções trigonométricas para valores próximos de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que, quando x e y são bem pequenos, podemos aproximar as funções trigonométricas por suas séries de Taylor simplificadas. Isso facilita bastante na hora de calcular o limite. As aproximações que vamos usar são:
Passo 3
Agora, vamos substituir essas aproximações na expressão original:
Numerador:
Denominador:
Passo 4
Com as aproximações, a expressão do limite fica assim:
Podemos simplificar dividindo o numerador pelo denominador:
Resposta
Portanto, o limite é igual a 2.