Determine x para que a série seja convergente. (Convencionaremos aqui que 0^0=1.)
sumn=2^+infty x^nln n

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a série e queremos descobrir para quais valores de essa série converge. Isso envolve o estudo de convergência de séries, uma parte importante do cálculo que nos ajuda a saber se a soma infinita de termos realmente tem um valor finito.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teste da Razão (ou Teste de D’Alembert), que é útil para determinar a convergência de séries envolvendo potências. O teste diz que, se :
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.
Aqui, nossos termos gerais são .

Passo 3

Aplicando o Teste da Razão, vamos calcular:
limn to infty | an+1an | = limn to infty | x^n+1ln (n+1)x^nln n | = limn to infty | x cdot ln nln (n+1) |
Simplificando:
= |x| cdot limn to infty ln nln (n+1)

Passo 4

Observamos que, para grandes valores de limn to infty ln nln (n+1) = 1 , limn to infty | an+1an | = |x| cdot 1 = |x| é aproximadamente igual a , então:
Portanto, o limite fica:

Passo 5

De acordo com o Teste da Razão:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo e precisamos analisar mais a fundo.

Passo 6

Agora, vamos analisar o caso quando sumn=2^+infty 1^nln n = sumn=2^+infty 1ln n . Isso significa que sumn=2^+infty (-1)^nln n ou .
Caso 1:
A série se torna:
Essa é uma série do tipo , que diverge. Podemos ver isso comparando com a integral , que diverge.
Caso 2:
A série se torna:
Aqui, temos uma série alternada. Vamos aplicar o Teste da Série Alternada, que diz que se os termos decrescem em módulo e tendem a zero, a série converge.
  • para
Portanto, a série converge quando .

Resposta

A série -1 <= x < 1 converge para todos os valores de tais que e também converge quando . Em resumo, a série é convergente para:

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