Calcule o limite:
l) (2010-1) \lim _{x \rightarrow \pi / 2}(x-\pi / 2) \cdot \operatorname{tg} x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
(2010-1)\,\lim_{x\to \pi/2}(x-\pi/2)\,\tan x.
O conteúdo é cálculo de limite com indeterminação do tipo 0\cdot\infty. Vamos usar reescrita em termos de \sin e \cos e o limite trigonométrico \lim_{h\to0}\sin h/h=1.

Passo 2

Analiso primeiro
L = \lim_{x\to \pi/2}(x-\pi/2)\,\tan x = \lim_{x\to \pi/2}(x-\pi/2)\,\frac{\sin x}{\cos x}.
Como \sin x é contínua e \sin(\pi/2)=1, temos
L = \Bigl(\lim_{x\to \pi/2}\sin x\Bigr) \Bigl(\lim_{x\to \pi/2}\frac{x-\pi/2}{\cos x}\Bigr) = 1\cdot \lim_{x\to \pi/2}\frac{x-\pi/2}{\cos x}.

Passo 3

Para \displaystyle \lim_{x\to \pi/2}\frac{x-\pi/2}{\cos x},
ponha h = x-\pi/2, então h\to0 e
\cos x = \cos(\pi/2 + h) = -\sin h.
Logo
\lim_{x\to \pi/2}\frac{x-\pi/2}{\cos x} = \lim_{h\to0}\frac{h}{-\,\sin h} = -\,\lim_{h\to0}\frac{h}{\sin h} = -1.
Portanto L=-1.

Passo 4

Multiplicando pelo fator externo 2010-1=2009, obtemos
(2010-1)\,L = 2009\cdot(-1) = -2009.

Resposta

-2009

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