Calcule o limite das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações dadas/observações imediatas:
- A expressão é uma razão entre duas quantidades que envolvem raízes quadradas.
- Ao tentar a substituição direta
obtém-se numerador e denominador . - Portanto a forma é indeterminada do tipo
e precisamos manipular algebricamente para eliminar essa indeterminação.
Passo 2
O que significa ter
e como proceder (mini-aula rápida):
- Quando um limite dá
pela substituição direta, a função costuma ser simplificável por álgebra e a técnica clássica aqui é remover o fator que anula numerador e denominador. - Para expressões com raízes, uma técnica muito útil é racionalizar (multiplicar por conjugado) para eliminar raízes do numerador ou do denominador.
- Vou aplicar racionalização no numerador, porque ele tem a forma
.
Passo 3
Racionalizando o numerador: multiplica-se numerador e denominador por seu conjugado
. Faço isso passo a passo:
No numerador aplicamos a identidade
:
Então a expressão fica
Passo 4
Agora vamos relacionar
com a expressão
. Note que
Isso é uma diferença de quadrados, então
Substituindo isso em
temos
Agora esse fator
cancela com o mesmo fator no denominador. Após o cancelamento obtemos:
Passo 5
Agora a expressão simplificada é contínua no ponto
(já não há divisão por zero nem raízes inválidas ali), então podemos aplicar substituição direta para calcular o limite. Substituindo
:
-
torna-se . -
torna-se .
Fazendo a substituição na expressão simplificada: