Calcule o limite das seguintes funções:
\lim _{x \rightarrow 4}\left(\frac{\sqrt{2 x+1}-3}{\sqrt{x-2}-\sqrt{2}}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 4}\left(\frac{\sqrt{2x+1}-3}{\sqrt{x-2}-\sqrt{2}}\right).
Informações dadas/observações imediatas:
  • A expressão é uma razão entre duas quantidades que envolvem raízes quadradas.
  • Ao tentar a substituição direta x=4 obtém-se numerador \sqrt{2\cdot4+1}-3=\sqrt{9}-3=3-3=0 e denominador \sqrt{4-2}-\sqrt{2}=\sqrt{2}-\sqrt{2}=0.
  • Portanto a forma é indeterminada do tipo 0/0 e precisamos manipular algebricamente para eliminar essa indeterminação.

Passo 2

O que significa ter 0/0 e como proceder (mini-aula rápida):
  • Quando um limite dá 0/0 pela substituição direta, a função costuma ser simplificável por álgebra e a técnica clássica aqui é remover o fator que anula numerador e denominador.
  • Para expressões com raízes, uma técnica muito útil é racionalizar (multiplicar por conjugado) para eliminar raízes do numerador ou do denominador.
  • Vou aplicar racionalização no numerador, porque ele tem a forma \sqrt{2x+1}-3.

Passo 3

Racionalizando o numerador: multiplica-se numerador e denominador por seu conjugado \sqrt{2x+1}+3. Faço isso passo a passo:
\frac{\sqrt{2x+1}-3}{\sqrt{x-2}-\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2x+1}+3}{\sqrt{2x+1}+3} = \frac{(\sqrt{2x+1}-3)(\sqrt{2x+1}+3)}{(\sqrt{x-2}-\sqrt{2})(\sqrt{2x+1}+3)}.
No numerador aplicamos a identidade (a-b)(a+b)=a^2-b^2:
(\sqrt{2x+1})^2-3^2 = (2x+1)-9 = 2x-8 = 2(x-4).
Então a expressão fica
\frac{2(x-4)}{(\sqrt{x-2}-\sqrt{2})(\sqrt{2x+1}+3)}.

Passo 4

Agora vamos relacionar x-4 com a expressão \sqrt{x-2}-\sqrt{2}. Note que
x-4 = (x-2)-2 = (\sqrt{x-2})^2-(\sqrt{2})^2.
Isso é uma diferença de quadrados, então
x-4 = (\sqrt{x-2}-\sqrt{2})(\sqrt{x-2}+\sqrt{2}).
Substituindo isso em 2(x-4) temos
2(x-4) = 2(\sqrt{x-2}-\sqrt{2})(\sqrt{x-2}+\sqrt{2}).
Agora esse fator (\sqrt{x-2}-\sqrt{2}) cancela com o mesmo fator no denominador. Após o cancelamento obtemos:
\frac{2(\sqrt{x-2}+\sqrt{2})}{\sqrt{2x+1}+3}.

Passo 5

Agora a expressão simplificada é contínua no ponto x=4 (já não há divisão por zero nem raízes inválidas ali), então podemos aplicar substituição direta para calcular o limite. Substituindo x=4:
  • \sqrt{x-2} torna-se \sqrt{2}.
  • \sqrt{2x+1} torna-se \sqrt{9}=3.
Fazendo a substituição na expressão simplificada:
\frac{2(\sqrt{2}+\sqrt{2})}{3+3} = \frac{2\cdot 2\sqrt{2}}{6} = \frac{4\sqrt{2}}{6} = \frac{2\sqrt{2}}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}

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