Calcule o limite das seguintes funções:
\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{2-\sqrt{4-x}}{x}\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{2-\sqrt{4-x}}{x}\right).
Informações relevantes dadas:
  • A expressão é \dfrac{2-\sqrt{4-x}}{x}.
  • O ponto de interesse é x\to 0.
  • A função \sqrt{4-x} está bem definida em torno de x=0 (pois 4-x>0 quando x é próximo de 0).

Passo 2

Verificar substituição direta para identificar o tipo de indeterminação:
\text{numerador em }x=0:\;2-\sqrt{4-0}=2-2=0, \qquad \text{denominador em }x=0:\;0.
Portanto obtemos a forma indeterminada \dfrac{0}{0}. Isso indica que precisamos manipular a expressão algebraicamente antes de avaliar o limite.

Passo 3

Usar a técnica da racionalização (multiplicar por conjugado) para eliminar a raiz no numerador. Multiplica-se numerador e denominador por 2+\sqrt{4-x}:
\frac{2-\sqrt{4-x}}{x}\cdot\frac{2+\sqrt{4-x}}{2+\sqrt{4-x}} =\frac{(2-\sqrt{4-x})(2+\sqrt{4-x})}{x\,(2+\sqrt{4-x})}.
No numerador aplica-se a diferença de quadrados:
(2-\sqrt{4-x})(2+\sqrt{4-x})=2^2-(\sqrt{4-x})^2=4-(4-x)=x.

Passo 4

Substituindo o numerador simplificado obtemos, para x\neq 0,
\frac{2-\sqrt{4-x}}{x}=\frac{x}{x\,(2+\sqrt{4-x})}=\frac{1}{2+\sqrt{4-x}}.
A cancelamento de x é válido porque no limite consideramos x próximo de 0 mas diferente de 0.

Passo 5

Agora que a expressão foi simplificada para uma função contínua em x próximo de 0, aplicamos o limite por continuidade:
\lim_{x\to 0}\frac{1}{2+\sqrt{4-x}}=\frac{1}{2+\sqrt{4-0}}=\frac{1}{2+2}=\frac{1}{4}.
Comentário didático rápido: a técnica da racionalização é útil sempre que houver uma raiz causando indeterminação do tipo \dfrac{0}{0}. Ao multiplicar pelo conjugado, a raiz some por diferença de quadrados, permitindo simplificação e avaliação do limite.

Resposta

\dfrac{1}{4}

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