Calcule o limite das seguintes funções:
\lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{\sqrt{2 x}-\sqrt{x+1}}{x-1}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x\to 1}\left(\frac{\sqrt{2x}-\sqrt{x+1}}{x-1}\right).
Informações dadas e observações imediatas:
  • A função é \dfrac{\sqrt{2x}-\sqrt{x+1}}{x-1}.
  • Ao substituir x=1 diretamente, o numerador fica \sqrt{2}-\sqrt{2}=0 e o denominador fica 1-1=0. Portanto a expressão é do tipo indeterminado 0/0.

Passo 2

Estratégia (explicação do método usado): quando aparece uma diferença de radicais que gera 0/0, uma técnica simples e poderosa é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do numerador. O conjugado de \sqrt{2x}-\sqrt{x+1} é \sqrt{2x}+\sqrt{x+1}. Multiplicar pelo conjugado transforma a diferença de raízes em uma diferença de quadrados, o que elimina as raízes no numerador e permite simplificar a expressão.

Passo 3

Aplicando a multiplicação pelo conjugado (mostrando conta passo a passo):
\frac{\sqrt{2x}-\sqrt{x+1}}{x-1}\cdot\frac{\sqrt{2x}+\sqrt{x+1}}{\sqrt{2x}+\sqrt{x+1}} = \frac{(\sqrt{2x})^2-(\sqrt{x+1})^2}{(x-1)\bigl(\sqrt{2x}+\sqrt{x+1}\bigr)}.
Calcule os quadrados:
(\sqrt{2x})^2 = 2x,\qquad (\sqrt{x+1})^2 = x+1.
Portanto o numerador vira
2x-(x+1)=2x-x-1=x-1.

Passo 4

Simplificação após a multiplicação:
\frac{x-1}{(x-1)\bigl(\sqrt{2x}+\sqrt{x+1}\bigr)}.
Para x\neq 1 pode-se cancelar x-1, ficando
\frac{1}{\sqrt{2x}+\sqrt{x+1}} \qquad (x\neq 1).

Passo 5

Cálculo do limite usando continuidade das raízes quadradas: a função x\mapsto\sqrt{x} é contínua para x\ge 0, logo pode-se fazer a substituição direta no limite da expressão simplificada:
\lim_{x\to 1}\frac{1}{\sqrt{2x}+\sqrt{x+1}} = \frac{1}{\sqrt{2\cdot 1}+\sqrt{1+1}} = \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}.

Passo 6

Opcional — racionalizar o denominador para uma forma mais convencional:
\frac{1}{2\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}.

Resposta

\dfrac{\sqrt{2}}{4}

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