Calcule o limite a seguir justificando cada passagem citando precisamente as “propriedades dos limites” que você utilizar
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{7 x^{4}+36}-6}{4 x^{4}}

Passo 1

O enunciado pede o seguinte limite:
\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{7x^{4}+36}-6}{4x^{4}}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A expressão a ser analisada é \dfrac{\sqrt{7x^{4}+36}-6}{4x^{4}}.
  • O ponto de interesse é x\to 0.
  • Se eu substituo x=0 diretamente, o numerador fica \sqrt{36}-6=6-6=0 e o denominador fica 4\cdot 0=0. Logo a forma é indeterminada do tipo \tfrac{0}{0}.
  • O objetivo é calcular o limite e justificar cada passo citando precisamente as propriedades dos limites utilizadas.

Passo 2

Mostrar que dá para transformar a expressão por manipulação algébrica (racionalização do numerador). Vou multiplicar numerador e denominador pela conjugada \sqrt{7x^{4}+36}+6. Antes disso justifico que essa multiplicação faz sentido: para x próximo de 0 temos
\sqrt{7x^{4}+36}\ge \sqrt{36}=6,
portanto
\sqrt{7x^{4}+36}+6\ge 12>0,
ou seja, a quantidade \sqrt{7x^{4}+36}+6 nunca é zero num pequeno entorno de 0. Assim, multiplicar por essa expressão não anula denominador e é uma operação algébrica válida para todo x suficientemente próximo de 0 com x\neq0.
Agora a multiplicação por conjugado (identidade algébrica):
\frac{\sqrt{7x^{4}+36}-6}{4x^{4}} \cdot \frac{\sqrt{7x^{4}+36}+6}{\sqrt{7x^{4}+36}+6} = \frac{\left(\sqrt{7x^{4}+36}\right)^{2}-6^{2}}{4x^{4}\,\big(\sqrt{7x^{4}+36}+6\big)}.
Aqui usei a identidade de soma e diferença de quadrados:
(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2},
com a=\sqrt{7x^{4}+36} e b=6.

Passo 3

Calcular o numerador resultante da racionalização:
\left(\sqrt{7x^{4}+36}\right)^{2}-6^{2}=7x^{4}+36-36=7x^{4}.
Portanto a expressão é (para x próximo de 0 com x\neq0)
\frac{7x^{4}}{4x^{4}\,\big(\sqrt{7x^{4}+36}+6\big)}.
Agora simplifico x^{4} que aparece em numerador e denominador. A simplificação é legítima porque estou trabalhando em uma vizinhança pontuada de 0 onde x\neq0. Assim, para 0<|x|<\delta (algum \delta>0) as funções originais e a função simplificada coincidem. Uso então a propriedade (nomeada explicitamente):
“Propriedade da igualdade em vizinhança pontuada”: se f(x)=g(x) para todo x com 0<|x-a|<\delta, então
\lim_{x\to a} f(x)=\lim_{x\to a} g(x)
quando algum dos limites existir.
Aplicando isso, para x\neq0 obtemos a função simplificada
\frac{7}{4\big(\sqrt{7x^{4}+36}+6\big)}.

Passo 4

Agora calculo o limite da função simplificada. Escrevo a função como quociente de constantes e de uma soma que envolve a raiz:
h(x)=\frac{7}{4\big(\sqrt{7x^{4}+36}+6\big)}.
Vou usar as propriedades dos limites que seguem:
  • “Propriedade do limite do quociente”: se \lim_{x\to a} p(x)=P e \lim_{x\to a} q(x)=Q com Q\neq0, então
\lim_{x\to a} \frac{p(x)}{q(x)}=\frac{P}{Q}.
  • “Propriedade do limite da soma”: se \lim_{x\to a} u(x)=U e \lim_{x\to a} v(x)=V, então
\lim_{x\to a} (u(x)+v(x))=U+V.
  • “Propriedade do limite do produto por constante”: se c é constante e \lim_{x\to a} r(x)=R, então
\lim_{x\to a} c\cdot r(x)=c\cdot R.
  • “Continuidade da função raiz quadrada”: a função t\mapsto\sqrt{t} é contínua em [0,\infty), ou seja, para sequências (ou limites) que convergem a um t_{0}\ge0,
\lim_{x\to a} \sqrt{u(x)}=\sqrt{\lim_{x\to a} u(x)}
sempre que \lim_{x\to a} u(x) exista e seja \ge0.
Aplicando essas propriedades, primeiro encontro
\lim_{x\to 0} \big(7x^{4}+36\big)=7\cdot\lim_{x\to 0}x^{4}+36=7\cdot 0+36=36,
onde usei “propriedade do produto por constante” e “propriedade do limite da soma”. Como a raiz é contínua,
\lim_{x\to 0}\sqrt{7x^{4}+36}=\sqrt{\lim_{x\to 0}\big(7x^{4}+36\big)}=\sqrt{36}=6.
Então pela “propriedade da soma” e “produto por constante”
\lim_{x\to 0} 4\big(\sqrt{7x^{4}+36}+6\big)=4\big(\lim_{x\to 0}\sqrt{7x^{4}+36}+\lim_{x\to 0}6\big)=4(6+6)=4\cdot 12=48.
Agora aplico a “propriedade do quociente” com numerador constante 7 e denominaror com limite 48\neq0, obtendo
\lim_{x\to 0} h(x)=\frac{7}{48}.

Passo 5

Resumo lógico das justificativas (cada passo atrelado a propriedade citada):
  • Identifiquei a forma indeterminada \tfrac{0}{0} ao substituir x=0.
  • Racionalizei o numerador usando a identidade (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}.
  • Justifiquei multiplicar por \sqrt{7x^{4}+36}+6 porque essa quantidade é estritamente positiva perto de 0.
  • Usei a “propriedade da igualdade em vizinhança pontuada” para substituir a função original pela função simplificada (válida para x\neq0).
  • Usei as propriedades dos limites (soma, produto por constante, quociente) e a continuidade da raiz quadrada para avaliar o limite da função simplificada.
  • Concluí que o limite existe e vale \dfrac{7}{48}.

Resposta

\dfrac{7}{48}

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