Calcule o limite a seguir justificando cada passagem citando precisamente as “propriedades dos limites” que você utilizar
Passo 1
O enunciado pede o seguinte limite:
Informações dadas e observações imediatas:
- A expressão a ser analisada é
. - O ponto de interesse é
. - Se eu substituo
diretamente, o numerador fica e o denominador fica . Logo a forma é indeterminada do tipo . - O objetivo é calcular o limite e justificar cada passo citando precisamente as propriedades dos limites utilizadas.
Passo 2
Mostrar que dá para transformar a expressão por manipulação algébrica (racionalização do numerador). Vou multiplicar numerador e denominador pela conjugada
. Antes disso justifico que essa multiplicação faz sentido: para
próximo de
temos
portanto
ou seja, a quantidade
nunca é zero num pequeno entorno de
. Assim, multiplicar por essa expressão não anula denominador e é uma operação algébrica válida para todo
suficientemente próximo de
com
.
Agora a multiplicação por conjugado (identidade algébrica):
Aqui usei a identidade de soma e diferença de quadrados:
com
e
.
Passo 3
Calcular o numerador resultante da racionalização:
Portanto a expressão é (para
próximo de
com
)
Agora simplifico
que aparece em numerador e denominador. A simplificação é legítima porque estou trabalhando em uma vizinhança pontuada de
onde
. Assim, para
(algum
) as funções originais e a função simplificada coincidem. Uso então a propriedade (nomeada explicitamente):
“Propriedade da igualdade em vizinhança pontuada”: se
para todo
com
, então
quando algum dos limites existir.
Aplicando isso, para
obtemos a função simplificada
Passo 4
Agora calculo o limite da função simplificada. Escrevo a função como quociente de constantes e de uma soma que envolve a raiz:
Vou usar as propriedades dos limites que seguem:
- “Propriedade do limite do quociente”: se
e com , então
- “Propriedade do limite da soma”: se
e , então
- “Propriedade do limite do produto por constante”: se
é constante e , então
- “Continuidade da função raiz quadrada”: a função
é contínua em , ou seja, para sequências (ou limites) que convergem a um ,
sempre que
exista e seja
.
Aplicando essas propriedades, primeiro encontro
onde usei “propriedade do produto por constante” e “propriedade do limite da soma”. Como a raiz é contínua,
Então pela “propriedade da soma” e “produto por constante”
Agora aplico a “propriedade do quociente” com numerador constante
e denominaror com limite
, obtendo
Passo 5
Resumo lógico das justificativas (cada passo atrelado a propriedade citada):
- Identifiquei a forma indeterminada
ao substituir . - Racionalizei o numerador usando a identidade
. - Justifiquei multiplicar por
porque essa quantidade é estritamente positiva perto de . - Usei a “propriedade da igualdade em vizinhança pontuada” para substituir a função original pela função simplificada (válida para
). - Usei as propriedades dos limites (soma, produto por constante, quociente) e a continuidade da raiz quadrada para avaliar o limite da função simplificada.
- Concluí que o limite existe e vale
.