Questão
: Um tipo de vegetação é abundante em certas épocas do ano e escasso em outras. A área S , em
, ocupada por esta vegetação ao longo do ano, pode ser expressa pela função
e
, representam o final de janeiro, fevereiro,
, dezembro, respectivamente.
(a) Calcule a área ocupada pela vegetação ao final do mês de junho.
(b) Determine a maior área ocupada pela vegetação, ao longo de um ano.
(c) Determine em que mês a menor ocupação acontece.
(a) Calcule a área ocupada pela vegetação ao final do mês de junho.
(b) Determine a maior área ocupada pela vegetação, ao longo de um ano.
(c) Determine em que mês a menor ocupação acontece.
Passo 1
O enunciado nos dá a função que descreve a área ocupada pela vegetação, em
, em função do tempo
(onde
é o número do mês no fim do mês):
Também é informado que
correspondem aos finais de janeiro, fevereiro,
, dezembro, respectivamente.
O que o problema pede:
(a) Calcular a área ao final do mês de junho.
(b) Determinar a maior área ocupada ao longo de um ano.
(c) Determinar em que mês a menor ocupação acontece.
(a) Calcular a área ao final do mês de junho.
(b) Determinar a maior área ocupada ao longo de um ano.
(c) Determinar em que mês a menor ocupação acontece.
Passo 2
Interpretando a função e lembrando propriedades básicas do seno:
- A função
tem valores no intervalo . Ou seja, e . - Aqui o argumento do seno é
. A função completa tem amplitude (multiplicador do seno) e deslocamento vertical . Portanto varia entre e , isto é entre e (isso já dá uma ideia das respostas (b) e (c) que virão). - A função é periódica com período
dado por quando o argumento é . Aqui , logo
isto é, a variação é anual (12 meses), consistente com o enunciado.
Agora resolvemos (a): junho corresponde a
. Substituindo:
Sabendo que
, obtemos
Passo 3
Para (b) queremos a maior área ao longo do ano. Como
para todo
, o máximo de
ocorre quando
. Então o valor máximo é
Mas o enunciado usa
(finais dos meses), então precisamos achar qual desses
produz
.
A equação
tem solução geral
Colocando
temos
Dividindo por
e multiplicando por
:
Entre
e
a solução possível é
(com
). Portanto o máximo
ocorre no final do mês correspondente a
, ou seja, no final de março.
Passo 4
Para (c) queremos a menor área. Como
, o mínimo de
ocorre quando
. O valor mínimo é
A equação
tem solução geral
Substituindo
:
Dividindo por
e multiplicando por
:
Entre
e
a solução é
(com
), ou seja, a menor ocupação ocorre no final de setembro, e vale
.
Resposta
(a)
(b) no final de março (
)
(c) Menor ocupação no final de setembro ( ),
(b)
(c) Menor ocupação no final de setembro (