Questão 03(6,0) : Um tipo de vegetação é abundante em certas épocas do ano e escasso em outras. A área S , em k m^{2}, ocupada por esta vegetação ao longo do ano, pode ser expressa pela função
S(t)=100+50 \cdot \operatorname{sen}\left(\frac{\pi t}{6}\right)
e t=1, t=2, \ldots, t=12, representam o final de janeiro, fevereiro, \ldots, dezembro, respectivamente.
(a) Calcule a área ocupada pela vegetação ao final do mês de junho.
(b) Determine a maior área ocupada pela vegetação, ao longo de um ano.
(c) Determine em que mês a menor ocupação acontece.

Passo 1

O enunciado nos dá a função que descreve a área ocupada pela vegetação, em \text{km}^2, em função do tempo t (onde t é o número do mês no fim do mês):
S(t)=100+50\cdot\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi t}{6}\right).
Também é informado que t=1,2,\ldots,12 correspondem aos finais de janeiro, fevereiro, \ldots, dezembro, respectivamente.
O que o problema pede:
(a) Calcular a área ao final do mês de junho.
(b) Determinar a maior área ocupada ao longo de um ano.
(c) Determinar em que mês a menor ocupação acontece.

Passo 2

Interpretando a função e lembrando propriedades básicas do seno:
  • A função \operatorname{sen}(x) tem valores no intervalo [-1,1]. Ou seja, \min \operatorname{sen}(x)=-1 e \max \operatorname{sen}(x)=1.
  • Aqui o argumento do seno é \dfrac{\pi t}{6}. A função completa tem amplitude 50 (multiplicador do seno) e deslocamento vertical 100. Portanto S(t) varia entre 100-50 e 100+50, isto é entre 50 e 150 (isso já dá uma ideia das respostas (b) e (c) que virão).
  • A função é periódica com período T dado por T=\dfrac{2\pi}{\omega} quando o argumento é \omega t. Aqui \omega=\dfrac{\pi}{6}, logo
T=\frac{2\pi}{\pi/6}=12,
isto é, a variação é anual (12 meses), consistente com o enunciado.
Agora resolvemos (a): junho corresponde a t=6. Substituindo:
S(6)=100+50\cdot\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi\cdot 6}{6}\right)=100+50\cdot\operatorname{sen}(\pi).
Sabendo que \operatorname{sen}(\pi)=0, obtemos
S(6)=100+50\cdot 0=100\\ \text{km}^2.

Passo 3

Para (b) queremos a maior área ao longo do ano. Como \operatorname{sen}(x)\le 1 para todo x, o máximo de S(t) ocorre quando \operatorname{sen}\!\left(\dfrac{\pi t}{6}\right)=1. Então o valor máximo é
S_{\max}=100+50\cdot 1=150\\ \text{km}^2.
Mas o enunciado usa t=1,2,\dots,12 (finais dos meses), então precisamos achar qual desses t produz \operatorname{sen}\!\left(\dfrac{\pi t}{6}\right)=1.
A equação \operatorname{sen}(x)=1 tem solução geral
x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\\ \text{inteiro}.
Colocando x=\dfrac{\pi t}{6} temos
\frac{\pi t}{6}=\frac{\pi}{2}+2k\pi.
Dividindo por \pi e multiplicando por 6:
t=3+12k,\qquad k\\ \text{inteiro}.
Entre t=1 e t=12 a solução possível é t=3 (com k=0). Portanto o máximo 150\\ \text{km}^2 ocorre no final do mês correspondente a t=3, ou seja, no final de março.

Passo 4

Para (c) queremos a menor área. Como \operatorname{sen}(x)\ge -1, o mínimo de S(t) ocorre quando \operatorname{sen}\!\left(\dfrac{\pi t}{6}\right)=-1. O valor mínimo é
S_{\min}=100+50\cdot(-1)=50\\ \text{km}^2.
A equação \operatorname{sen}(x)=-1 tem solução geral
x=\frac{3\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\\ \text{inteiro}.
Substituindo x=\dfrac{\pi t}{6}:
\frac{\pi t}{6}=\frac{3\pi}{2}+2k\pi.
Dividindo por \pi e multiplicando por 6:
t=9+12k,\qquad k\\ \text{inteiro}.
Entre t=1 e t=12 a solução é t=9 (com k=0), ou seja, a menor ocupação ocorre no final de setembro, e vale 50\\ \text{km}^2.

Resposta

(a) S(6)=100\\ \text{km}^2
(b) S_{\max}=150\\ \text{km}^2 no final de março ( t=3)
(c) Menor ocupação no final de setembro ( t=9), S(9)=50\\ \text{km}^2

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