Questão
: Esboce o gráfico de uma função
que satisfaça as condições
Nenhuma fórmula é necessária; simplesmente indique os eixos cartesianos e trace uma curva apropriada (as respostas não são únicas; qualquer função que satisfaça as condições é aceitável).
Passo 1
O enunciado pede que se esboce o gráfico de uma função
que satisfaça as seguintes condições (vou listar exatamente os dados fornecidos):
-
. -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
.
O pedido é apenas um esboço (nenhuma fórmula necessária). Qualquer curva que respeite esses valores e limites é aceitável. A tarefa agora é transformar essas condições em instruções claras para desenhar o gráfico.
Passo 2
Entender o que cada condição significa — aula rápida e prática sobre limites e pontos que vamos usar ao desenhar:
- Quando dizemos
com finito, isso significa que os pontos da curva se aproximam da altura quando se aproxima de . Se existe e é igual a , a função é contínua em ; se há um salto/valor isolado. - Quando dizemos
, significa que a curva cresce (ou decresce) sem limite em módulo ao se aproximar de ; isso indica uma assíntota vertical (pelo menos unilateral). - Quando dizemos
(ou ), isso descreve uma assíntota horizontal : a curva tende à reta quando vai para (ou ). - Um valor como
número indica que existe um ponto marcado no gráfico em com a ordenada dada; esse ponto pode coincidir com o limite ou não.
Agora traduzimos as condições do enunciado usando essas ideias.
Passo 3
Identificar as assíntotas horizontais dadas pelos limites no infinito:
- Como
, o gráfico tem assíntota horizontal à direita: a reta . Ao desenhar, para grande para a direita a curva deve ficar cada vez mais próxima de . - Como
, o gráfico tem assíntota horizontal à esquerda: a reta . Para muito negativo a curva deve se aproximar de .
Marque no papel duas linhas tracejadas horizontais:
e
(tracejado para lembrar que são assíntotas).
Passo 4
Tratar os pontos
e
, onde há comportamento singular (limites unilaterais diferentes):
-
Em
: -
. Isso significa que vindo pela esquerda a curva se aproxima do ponto . Desenhe à esquerda de uma trajetória que tende ao nível quando . Como esse é um limite, marque a posição com um círculo aberto (porque o valor real em é diferente). -
. Vindo pela direita a função vai para , ou seja, logo ao lado direito de a curva despenca para baixo sem limite. Isso indica uma assíntota vertical em pelo menos no lado direito; desenhe a curva à direita de indo para quando se aproxima de . -
. Existem então dois pontos a considerar em : o limite pela esquerda dá (círculo aberto) e o valor real da função é o ponto preenchido . Marque um ponto sólido em .
-
-
Em
: -
. Vindo pela esquerda a curva sobe sem limite ao aproximar : comportamento de assíntota vertical pelo lado esquerdo. -
. Vindo pela direita a curva se aproxima do ponto . Como esse é um limite à direita, marque a posição com um círculo aberto (porque é diferente). -
. Há um ponto sólido em . Assim, à esquerda de a curva vai para , ao chegar em há um ponto isolado em , e à direita a curva retorna vindo do nível próximo de .
-
Em resumo: em ambos
e
o gráfico tem comportamentos unilaterais diferentes, com pontos sólidos dados por
que não coincidem com os limites unilaterais correspondentes.
Passo 5
Construir a parte esquerda do gráfico (para
muito negativos até
) — instruções práticas:
- Para
a curva deve aproximar . Escolha uma trajetória suave que, vindo da esquerda, se aproxime lentamente de . - Conforme essa trajetória vai para valores maiores de
(aproximando pela esquerda), faça a curva descer ligeiramente até aproximar-se de exatamente quando . Importante: em não coloque ponto sólido nessa altura; marque um círculo aberto em . - Logo à direita de
a curva deve ir para , ou seja, desenhe logo à direita de um braço da curva caindo rapidamente para baixo.
Dica prática de desenho: pense em três ramos distintos aqui — ramo à esquerda de
(aproximando
quando
e se aproximando de
quando
), um ponto isolado em
(marcado cheio), e um ramo imediatamente à direita de
que vai para
.
Passo 6
Construir o intervalo entre
e
(o trecho que contém
):
- Condições para esse intervalo são: logo à direita de
a função começa em . Para satisfazer é preciso que, ao aproximar de pela esquerda, a curva suba para . - Então, um jeito simples de desenhar é: a partir de
a curva sobe do , atravessa a região central (fazendo uma subida contínua) e passa pelo ponto (ou seja, certifique-se de que a curva cruza o eixo em ), depois continua subindo até explodir para quando . - Não é necessário que a curva seja reta; uma subida suave, contínua e monotônica nesse intervalo é a forma mais simples e aceitável para cumprir as condições. O importante é:
- Existe um ramo em
que liga (próximo de ) a (próximo de ). - Esse ramo passa por
.
- Existe um ramo em
Passo 7
Construir a parte direita do gráfico (para
):
- À direita imediata de
a curva deve aproximar quando . Como , marque com ponto cheio e deixe como um círculo aberto (representando o limite pela direita). - Para
grande positiva a curva deve tender para . Isso significa que, após passar pela região logo à direita de (com valor por volta de ), a curva deve descer (ou ondular) suavemente em direção a , aproximando-se cada vez mais dessa linha para . - Uma escolha simples: fazê-la descer de perto de
para valores perto de e aproximar-se assintoticamente de de cima (ou de baixo — tanto faz). O enunciado não impõe o sentido da aproximação, apenas o limite.
Passo 8
Marcar todos os pontos e sinais de continuidade/descontinuidade no esboço:
- Marque e preencha os pontos:
-
com ponto sólido (é ). -
com ponto sólido (é ). -
com ponto sólido (é ).
-
- Marque círculos abertos para limites que não igualam ao valor da função:
-
com círculo aberto (limite pela esquerda). -
com círculo aberto (limite pela direita).
-
- Trace linhas tracejadas horizontais para assíntotas:
-
(assíntota quando ). -
(assíntota quando ).
-
- Indique com setas a tendência para
nas proximidades de (direita) e (esquerda) conforme os limites unilaterais dados.
Passo 9
Resumo prático de como desenhar, passo a passo no papel (modo “faça você mesmo” — desenhe à mão, que é o objetivo da prova):
- Desenhe e rotule os eixos
e . - Trace duas linhas horizontais tracejadas:
e . - Marque
e na reta . - Em
: desenhe um círculo aberto em e um ponto sólido em . À direita de desenhe um ramo que desce para (seta apontando para baixo próximo de ). À esquerda de desenhe uma curva que vem de (quando ) e se aproxima de . - No intervalo
: desenhe uma curva que sai de (logo à direita de ), sobe passando por , e vai para quando . - Em
: desenhe um ponto sólido em e um círculo aberto em . À esquerda de a curva vai para ; à direita de ela vem de perto de e desce suavemente aproximando-se de quando . - Ajuste as curvas de modo suave (sem quinas) e coloque setas indicando as aproximações às assíntotas horizontais à esquerda e à direita.
Passo 10
Observações finais e justificativas (para você explicar na prova se pedirem por que o esboço está correto):
- Cada ponto/limite pedido foi respeitado:
- Valores exatos
, , marcados como pontos sólidos. - Limites unilaterais em
e representados por círculos abertos e comportamento assintótico vertical (para quando solicitado). - Assíntotas horizontais
e indicadas para os extremos .
- Valores exatos
- Não é necessário dar fórmula; o esboço é suficiente desde que mostre claramente a tendência e os pontos solicitados.
- Se na prova pedirem justificativa em palavras, diga: “o gráfico foi construído respeitando todos os limites e pontos fornecidos; assíntotas horizontais para os limites no infinito e comportamentos unilaterais em
foram representados explicitamente.”
Resposta
Ramos e pontos essenciais do esboço que satisfazem todas as condições:
(assíntota horizontal
);
à esquerda de o ramo aproxima
(círculo aberto);
(ponto sólido em
);
à direita de o ramo vai para
quando
;
no intervalo há um ramo que vai de
(em
) a
(em
) passando por
;
(ponto sólido em
);
(círculo aberto em
);
(assíntota horizontal
).
à esquerda de
à direita de
no intervalo