Questão 04(6,0) : Esboce o gráfico de uma função y=f(x) que satisfaça as condições
\begin{gathered} f(0)=0, f(1)=2, f(-1)=-2, \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=1, \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=-1, \lim _{x \rightarrow-1^{+}} f(x)=-\infty, \lim _{x \rightarrow-1^{-}} f(x)=-3 \\\ \lim _{x \rightarrow 1^{-}} f(x)=\infty \text { e } \lim _{x \rightarrow 1^{+}} f(x)=3 \end{gathered}
Nenhuma fórmula é necessária; simplesmente indique os eixos cartesianos e trace uma curva apropriada (as respostas não são únicas; qualquer função que satisfaça as condições é aceitável).

Passo 1

O enunciado pede que se esboce o gráfico de uma função y=f(x) que satisfaça as seguintes condições (vou listar exatamente os dados fornecidos):
  • f(0)=0.
  • f(1)=2.
  • f(-1)=-2.
  • \displaystyle \lim_{x\to\infty} f(x)=1.
  • \displaystyle \lim_{x\to-\infty} f(x)=-1.
  • \displaystyle \lim_{x\to-1^{+}} f(x)=-\infty.
  • \displaystyle \lim_{x\to-1^{-}} f(x)=-3.
  • \displaystyle \lim_{x\to1^{-}} f(x)=\infty.
  • \displaystyle \lim_{x\to1^{+}} f(x)=3.
O pedido é apenas um esboço (nenhuma fórmula necessária). Qualquer curva que respeite esses valores e limites é aceitável. A tarefa agora é transformar essas condições em instruções claras para desenhar o gráfico.

Passo 2

Entender o que cada condição significa — aula rápida e prática sobre limites e pontos que vamos usar ao desenhar:
  • Quando dizemos \displaystyle \lim_{x\to a} f(x)=L com L finito, isso significa que os pontos da curva se aproximam da altura y=L quando x se aproxima de a. Se f(a) existe e é igual a L, a função é contínua em a; se f(a)\neq L há um salto/valor isolado.
  • Quando dizemos \displaystyle \lim_{x\to a} f(x)=\pm\infty, significa que a curva cresce (ou decresce) sem limite em módulo ao se aproximar de a; isso indica uma assíntota vertical (pelo menos unilateral).
  • Quando dizemos \displaystyle \lim_{x\to\infty} f(x)=L (ou x\to-\infty), isso descreve uma assíntota horizontal y=L: a curva tende à reta y=L quando x vai para +\infty (ou -\infty).
  • Um valor como f(a)= número indica que existe um ponto marcado no gráfico em x=a com a ordenada dada; esse ponto pode coincidir com o limite ou não.
Agora traduzimos as condições do enunciado usando essas ideias.

Passo 3

Identificar as assíntotas horizontais dadas pelos limites no infinito:
  • Como \displaystyle \lim_{x\to\infty} f(x)=1, o gráfico tem assíntota horizontal à direita: a reta y=1. Ao desenhar, para x grande para a direita a curva deve ficar cada vez mais próxima de y=1.
  • Como \displaystyle \lim_{x\to-\infty} f(x)=-1, o gráfico tem assíntota horizontal à esquerda: a reta y=-1. Para x muito negativo a curva deve se aproximar de y=-1.
Marque no papel duas linhas tracejadas horizontais: y=1 e y=-1 (tracejado para lembrar que são assíntotas).

Passo 4

Tratar os pontos x=-1 e x=1, onde há comportamento singular (limites unilaterais diferentes):
  • Em x=-1:
    • \displaystyle \lim_{x\to-1^{-}} f(x)=-3. Isso significa que vindo pela esquerda a curva se aproxima do ponto (-1,-3). Desenhe à esquerda de x=-1 uma trajetória que tende ao nível y=-3 quando x\to-1^{-}. Como esse é um limite, marque a posição (-1,-3) com um círculo aberto (porque o valor real em -1 é diferente).
    • \displaystyle \lim_{x\to-1^{+}} f(x)=-\infty. Vindo pela direita a função vai para -\infty, ou seja, logo ao lado direito de x=-1 a curva despenca para baixo sem limite. Isso indica uma assíntota vertical em x=-1 pelo menos no lado direito; desenhe a curva à direita de -1 indo para -\infty quando se aproxima de -1.
    • f(-1)=-2. Existem então dois pontos a considerar em x=-1: o limite pela esquerda dá -3 (círculo aberto) e o valor real da função é o ponto preenchido (-1,-2). Marque um ponto sólido em (-1,-2).
  • Em x=1:
    • \displaystyle \lim_{x\to1^{-}} f(x)=\infty. Vindo pela esquerda a curva sobe sem limite ao aproximar x=1: comportamento de assíntota vertical pelo lado esquerdo.
    • \displaystyle \lim_{x\to1^{+}} f(x)=3. Vindo pela direita a curva se aproxima do ponto (1,3). Como esse é um limite à direita, marque a posição (1,3) com um círculo aberto (porque f(1) é diferente).
    • f(1)=2. Há um ponto sólido em (1,2). Assim, à esquerda de x=1 a curva vai para +\infty, ao chegar em x=1 há um ponto isolado em y=2, e à direita a curva retorna vindo do nível y próximo de 3.
Em resumo: em ambos x=-1 e x=1 o gráfico tem comportamentos unilaterais diferentes, com pontos sólidos dados por f(\pm1) que não coincidem com os limites unilaterais correspondentes.

Passo 5

Construir a parte esquerda do gráfico (para x muito negativos até x=-1) — instruções práticas:
  • Para x\to -\infty a curva deve aproximar y=-1. Escolha uma trajetória suave que, vindo da esquerda, se aproxime lentamente de y=-1.
  • Conforme essa trajetória vai para valores maiores de x (aproximando -1 pela esquerda), faça a curva descer ligeiramente até aproximar-se de y=-3 exatamente quando x\to-1^{-}. Importante: em x=-1 não coloque ponto sólido nessa altura; marque um círculo aberto em (-1,-3).
  • Logo à direita de -1 a curva deve ir para -\infty, ou seja, desenhe logo à direita de x=-1 um braço da curva caindo rapidamente para baixo.
Dica prática de desenho: pense em três ramos distintos aqui — ramo à esquerda de -1 (aproximando y=-1 quando x\to-\infty e se aproximando de (-1,-3) quando x\to-1^{-}), um ponto isolado em (-1,-2) (marcado cheio), e um ramo imediatamente à direita de -1 que vai para -\infty.

Passo 6

Construir o intervalo entre -1 e 1 (o trecho que contém x=0):
  • Condições para esse intervalo são: logo à direita de -1 a função começa em -\infty. Para satisfazer \displaystyle \lim_{x\to1^{-}} f(x)=\infty é preciso que, ao aproximar x de 1 pela esquerda, a curva suba para +\infty.
  • Então, um jeito simples de desenhar é: a partir de -1^{+} a curva sobe do -\infty, atravessa a região central (fazendo uma subida contínua) e passa pelo ponto f(0)=0 (ou seja, certifique-se de que a curva cruza o eixo y em (0,0)), depois continua subindo até explodir para +\infty quando x\to1^{-}.
  • Não é necessário que a curva seja reta; uma subida suave, contínua e monotônica nesse intervalo é a forma mais simples e aceitável para cumprir as condições. O importante é:
    • Existe um ramo em (-1,1) que liga -\infty (próximo de -1^{+}) a +\infty (próximo de 1^{-}).
    • Esse ramo passa por (0,0).

Passo 7

Construir a parte direita do gráfico (para x>1):
  • À direita imediata de x=1 a curva deve aproximar (1,3) quando x\to1^{+}. Como f(1)=2, marque (1,2) com ponto cheio e deixe (1,3) como um círculo aberto (representando o limite pela direita).
  • Para x grande positiva a curva deve tender para y=1. Isso significa que, após passar pela região logo à direita de 1 (com valor por volta de 3), a curva deve descer (ou ondular) suavemente em direção a y=1, aproximando-se cada vez mais dessa linha para x\to\infty.
  • Uma escolha simples: fazê-la descer de perto de 3 para valores perto de 1 e aproximar-se assintoticamente de y=1 de cima (ou de baixo — tanto faz). O enunciado não impõe o sentido da aproximação, apenas o limite.

Passo 8

Marcar todos os pontos e sinais de continuidade/descontinuidade no esboço:
  • Marque e preencha os pontos:
    • (-1,-2) com ponto sólido (é f(-1)).
    • (0,0) com ponto sólido (é f(0)).
    • (1,2) com ponto sólido (é f(1)).
  • Marque círculos abertos para limites que não igualam ao valor da função:
    • (-1,-3) com círculo aberto (limite pela esquerda).
    • (1,3) com círculo aberto (limite pela direita).
  • Trace linhas tracejadas horizontais para assíntotas:
    • y=-1 (assíntota quando x\to-\infty).
    • y=1 (assíntota quando x\to\infty).
  • Indique com setas a tendência para \pm\infty nas proximidades de x=-1 (direita) e x=1 (esquerda) conforme os limites unilaterais dados.

Passo 9

Resumo prático de como desenhar, passo a passo no papel (modo “faça você mesmo” — desenhe à mão, que é o objetivo da prova):
  1. Desenhe e rotule os eixos x e y.
  2. Trace duas linhas horizontais tracejadas: y=-1 e y=1.
  3. Marque x=-1 e x=1 na reta x.
  4. Em x=-1: desenhe um círculo aberto em (-1,-3) e um ponto sólido em (-1,-2). À direita de x=-1 desenhe um ramo que desce para -\infty (seta apontando para baixo próximo de -1^{+}). À esquerda de -1 desenhe uma curva que vem de y=-1 (quando x\to-\infty) e se aproxima de (-1,-3).
  5. No intervalo (-1,1): desenhe uma curva que sai de -\infty (logo à direita de -1), sobe passando por (0,0), e vai para +\infty quando x\to1^{-}.
  6. Em x=1: desenhe um ponto sólido em (1,2) e um círculo aberto em (1,3). À esquerda de 1 a curva vai para +\infty; à direita de 1 ela vem de perto de 3 e desce suavemente aproximando-se de y=1 quando x\to\infty.
  7. Ajuste as curvas de modo suave (sem quinas) e coloque setas indicando as aproximações às assíntotas horizontais à esquerda e à direita.

Passo 10

Observações finais e justificativas (para você explicar na prova se pedirem por que o esboço está correto):
  • Cada ponto/limite pedido foi respeitado:
    • Valores exatos f(-1), f(0), f(1) marcados como pontos sólidos.
    • Limites unilaterais em -1 e 1 representados por círculos abertos e comportamento assintótico vertical (para \pm\infty quando solicitado).
    • Assíntotas horizontais y=-1 e y=1 indicadas para os extremos x\to\pm\infty.
  • Não é necessário dar fórmula; o esboço é suficiente desde que mostre claramente a tendência e os pontos solicitados.
  • Se na prova pedirem justificativa em palavras, diga: “o gráfico foi construído respeitando todos os limites e pontos fornecidos; assíntotas horizontais para os limites no infinito e comportamentos unilaterais em x=\pm1 foram representados explicitamente.”

Resposta

Ramos e pontos essenciais do esboço que satisfazem todas as condições:
\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=-1 (assíntota horizontal y=-1);
à esquerda de x=-1 o ramo aproxima (-1,-3) (círculo aberto);
f(-1)=-2 (ponto sólido em (-1,-2));
à direita de x=-1 o ramo vai para -\infty quando x\to-1^{+};
no intervalo (-1,1) há um ramo que vai de -\infty (em -1^{+}) a +\infty (em 1^{-}) passando por f(0)=0;
f(1)=2 (ponto sólido em (1,2));
\displaystyle \lim_{x\to1^{+}}f(x)=3 (círculo aberto em (1,3));
\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=1 (assíntota horizontal y=1).

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