Calcule o limite das sequências:
\left(n^{r}-n\right), onde r \neq 1.

Passo 1

O enunciado pede o limite da sequência
a_{n} = n^{r} - n
quando n\to\infty e r\neq1.
O conteúdo é comparação de ordens de crescimento de potências de n.

Passo 2

Suponha r>1. Podemos escrever
a_{n} = n^{r}\bigl(1 - n^{1-r}\bigr).
Como 1-r<0, temos n^{1-r}\to0 quando n\to\infty. Logo
a_{n}\sim n^{r}\cdot1\quad\text{e}\quad n^{r}\to+\infty,
portanto \lim_{n\to\infty}a_{n}=+\infty.

Passo 3

Suponha r<1. Escrevendo
a_{n} = n\bigl(n^{r-1} - 1\bigr),
note que r-1<0 implica n^{r-1}\to0. Então
a_{n}\sim n\cdot(-1) = -\,n\quad\text{e}\quad -\,n\to-\infty,
logo \lim_{n\to\infty}a_{n}=-\infty.

Resposta

\lim_{n\to\infty}(n^{r}-n) =\begin{cases} +\infty, & r>1,\\\\ -\infty, & r<1. \end{cases}

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