Calcular os limites.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen} 3 x}{\operatorname{sen} 4 x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to 0}\frac{\sin(3x)}{\sin(4x)}.
O conteúdo principal é limite de funções trigonométricas, e vamos usar o fato conhecido
\lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1.

Passo 2

Para aplicar esse limite, reescrevemos cada seno multiplicando e dividindo pela sua própria variável:
\sin(3x)=3x\cdot\frac{\sin(3x)}{3x}, \quad \sin(4x)=4x\cdot\frac{\sin(4x)}{4x}.
Assim,
\frac{\sin(3x)}{\sin(4x)} =\frac{3x}{4x}\,\frac{\frac{\sin(3x)}{3x}}{\frac{\sin(4x)}{4x}}.

Passo 3

Agora tomamos o limite de cada fator separadamente:
\lim_{x\to0}\frac{3x}{4x}=\frac{3}{4}, \quad \lim_{x\to0}\frac{\sin(3x)}{3x}=1, \quad \lim_{x\to0}\frac{\sin(4x)}{4x}=1.
Portanto,
\lim_{x\to0}\frac{\sin(3x)}{\sin(4x)} =\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{1} =\frac{3}{4}.

Resposta

\frac{3}{4}.

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