Exercício 1. (4,0 Pontos) Calcule as seguintes integrais.
int \frac{\mathrm{e}^{x}+1}{\mathrm{e}^{x}+x} d x;

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{\mathrm{e}^{x}+1}{\mathrm{e}^{x}+x}\,dx.
O conteúdo aqui é a técnica de substituição, observando que o numerador pode ser a derivada do denominador.

Passo 2

Definimos
u = \mathrm{e}^{x} + x.
Em seguida calculamos a derivada de u:
\frac{du}{dx} = \mathrm{e}^{x} + 1.

Passo 3

Percebemos que o numerador da integral original é exatamente du/dx. Logo, podemos reescrever
\int \frac{\mathrm{e}^{x}+1}{\mathrm{e}^{x}+x}\,dx = \int \frac{\frac{du}{dx}}{u}\,dx.

Passo 4

Aplicando a regra
\int \frac{u'}{u}\,dx = \ln\bigl|u\bigr| + C,
obtemos
\int \frac{\frac{du}{dx}}{u}\,dx = \ln\bigl|u\bigr| + C.
Voltando à variável x, u = \mathrm{e}^{x}+x.

Resposta

\ln\bigl|\mathrm{e}^{x}+x\bigr| + C.

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