Calcule o limite usando as propriedades:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A função envolvida é a razão entre a função
(numerador) e a função (denominador). - A raiz quadrada exige que o argumento seja não negativo, ou seja,
. Isso significa que o domínio natural da raiz é ou . Como estamos calculando o limite quando , o ponto está dentro do domínio da raiz, então não há problema de domínio próximo de . - Não há nenhuma indicação de indeterminação inicial: devemos verificar os limites do numerador e do denominador ao aproximar
de .
Passo 2
Lembrete das propriedades de limites e continuidade que iremos usar (explicadas de forma didática):
- Uma função polinomial
é contínua em todo . Isso significa que para qualquer . - A função
é contínua para . Se é uma função tal que e , então . - Regra do quociente para limites: se
e com , então
Vamos aplicar essas ideias ao nosso caso: o numerador é composição de
(polinomial) com a raiz (contínua em argumentos não negativos), e o denominador é um polinomial multiplicado por constante (logo contínuo).
Passo 3
Calcular o limite do numerador separadamente:
Justificativa:
é contínua em
, e
, portanto o argumento da raiz tende para
e está num ponto onde a raiz é contínua. Logo podemos passar o limite para dentro da raiz:
Passo 4
Calcular o limite do denominador separadamente:
Justificativa:
é polinomial, contínua em
. Portanto
Observe que o limite do denominador é diferente de zero (
), então a regra do quociente pode ser aplicada.
Passo 5
Aplicar a regra do quociente: como os limites do numerador e do denominador existem e o limite do denominador é diferente de zero, temos
Podemos escrever de forma mais limpa: