Calcule o limite usando as propriedades:
H(x)=\lim _{x \rightarrow 2} \frac{\sqrt{x^{2}-1}}{-2\left(x^{3}-2\right)}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
H(x)=\lim_{x\to 2}\frac{\sqrt{x^{2}-1}}{-2\bigl(x^{3}-2\bigr)}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função envolvida é a razão entre a função \sqrt{x^{2}-1} (numerador) e a função -2\bigl(x^{3}-2\bigr) (denominador).
  • A raiz quadrada exige que o argumento seja não negativo, ou seja, x^{2}-1\ge 0. Isso significa que o domínio natural da raiz é x\le -1 ou x\ge 1. Como estamos calculando o limite quando x\to 2, o ponto x=2 está dentro do domínio da raiz, então não há problema de domínio próximo de 2.
  • Não há nenhuma indicação de indeterminação inicial: devemos verificar os limites do numerador e do denominador ao aproximar x de 2.

Passo 2

Lembrete das propriedades de limites e continuidade que iremos usar (explicadas de forma didática):
  • Uma função polinomial p(x) é contínua em todo \mathbb{R}. Isso significa que \lim_{x\to a} p(x)=p(a) para qualquer a.
  • A função g(x)=\sqrt{x} é contínua para x\ge 0. Se h(x) é uma função tal que h(a)\ge 0 e \lim_{x\to a} h(x)=h(a), então \lim_{x\to a}\sqrt{h(x)}=\sqrt{h(a)}.
  • Regra do quociente para limites: se \lim_{x\to a} f(x)=L e \lim_{x\to a} g(x)=M com M\neq 0, então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{M}.
Vamos aplicar essas ideias ao nosso caso: o numerador é composição de x\mapsto x^{2}-1 (polinomial) com a raiz (contínua em argumentos não negativos), e o denominador é um polinomial multiplicado por constante (logo contínuo).

Passo 3

Calcular o limite do numerador separadamente:
\lim_{x\to 2}\sqrt{x^{2}-1}.
Justificativa: x\mapsto x^{2}-1 é contínua em x=2, e (2)^{2}-1=3>0, portanto o argumento da raiz tende para 3 e está num ponto onde a raiz é contínua. Logo podemos passar o limite para dentro da raiz:
\lim_{x\to 2}\sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{\lim_{x\to 2}(x^{2}-1)}=\sqrt{2^{2}-1}=\sqrt{3}.

Passo 4

Calcular o limite do denominador separadamente:
\lim_{x\to 2}-2\bigl(x^{3}-2\bigr).
Justificativa: x\mapsto x^{3}-2 é polinomial, contínua em x=2. Portanto
\lim_{x\to 2}-2\bigl(x^{3}-2\bigr)=-2\bigl(\lim_{x\to 2}(x^{3}-2)\bigr)=-2\bigl(2^{3}-2\bigr)=-2(8-2)=-2\cdot 6=-12.
Observe que o limite do denominador é diferente de zero ( -12\neq 0), então a regra do quociente pode ser aplicada.

Passo 5

Aplicar a regra do quociente: como os limites do numerador e do denominador existem e o limite do denominador é diferente de zero, temos
\lim_{x\to 2}\frac{\sqrt{x^{2}-1}}{-2\bigl(x^{3}-2\bigr)}=\frac{\displaystyle\lim_{x\to 2}\sqrt{x^{2}-1}}{\displaystyle\lim_{x\to 2}-2\bigl(x^{3}-2\bigr)}=\frac{\sqrt{3}}{-12}.
Podemos escrever de forma mais limpa:
\frac{\sqrt{3}}{-12}=-\frac{\sqrt{3}}{12}.

Resposta

-\dfrac{\sqrt{3}}{12}

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