Determinar o domínio das funções: (2,0)
H(x)=\sqrt{x^{2}-3 x+4}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o domínio da função
H(x)=\sqrt{x^{2}-3x+4}.
Informações dadas:
  • A função é a raiz quadrada do polinômio x^{2}-3x+4.
  • A pergunta é: para quais valores de x essa função está definida (domínio)?

Passo 2

Condição fundamental para funções do tipo raiz quadrada: a raiz quadrada real está definida apenas quando o radicando é não negativo. Em outras palavras, para que H(x) seja um número real é necessário e suficiente que
x^{2}-3x+4 \ge 0.
Explicação curta: \sqrt{y} (no conjunto dos números reais) só existe quando y\ge 0. Se y<0, a raiz seria um número complexo, e aqui queremos o domínio real.

Passo 3

Então precisamos resolver a desigualdade quadrática
x^{2}-3x+4 \ge 0.
Vou analisar o polinômio quadrático f(x)=x^{2}-3x+4. Para isso uso os coeficientes explicitamente: a=1, b=-3 e c=4.

Passo 4

Uma forma rápida é calcular o discriminante da quadrática. O discriminante é dado por
\Delta=b^{2}-4ac.
Substituindo a=1, b=-3, c=4 temos
\Delta = (-3)^{2}-4\cdot 1\cdot 4 = 9-16 = -7.
Como \Delta<0, a equação x^{2}-3x+4=0 não tem raízes reais. Além disso o coeficiente a=1 é positivo, isto é, a parábola abre para cima. Quando uma parábola com a>0 não tem raízes reais, ela fica inteira acima do eixo x, ou seja, f(x)>0 para todo x\in\mathbb{R}. Portanto
x^{2}-3x+4>0\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R},
e dessa forma a desigualdade com \ge 0 é satisfeita por todos os reais.

Passo 5

Como verificação alternativa (sem usar discriminante), é possível calcular o valor mínimo da parábola pelo vértice. A abscissa do vértice é
x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2\cdot 1} = \frac{3}{2}.
Avalio a função neste ponto:
f\!\left(\frac{3}{2}\right)=\left(\frac{3}{2}\right)^{2}-3\cdot\frac{3}{2}+4 = \frac{9}{4}-\frac{9}{2}+4.
Colocando em denominador comum 4:
\frac{9}{4}-\frac{18}{4}+\frac{16}{4}=\frac{7}{4}>0.
Como o mínimo da parábola é \tfrac{7}{4} e é positivo, conclui-se novamente que f(x)>0 para todo x.

Passo 6

Conclusão: o radicando x^{2}-3x+4 é sempre positivo para todo x\in\mathbb{R}, logo a raiz quadrada está definida para todos os reais. Portanto o domínio de H é todo o conjunto dos números reais.

Resposta

\mathbb{R}

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