Determinar o domínio das funções:
Passo 1
O enunciado pede: determinar o domínio da função
Informações dadas:
- A função é a raiz quadrada do polinômio
. - A pergunta é: para quais valores de
essa função está definida (domínio)?
Passo 2
Condição fundamental para funções do tipo raiz quadrada: a raiz quadrada real está definida apenas quando o radicando é não negativo. Em outras palavras, para que
seja um número real é necessário e suficiente que
Explicação curta:
(no conjunto dos números reais) só existe quando
. Se
, a raiz seria um número complexo, e aqui queremos o domínio real.
Passo 3
Então precisamos resolver a desigualdade quadrática
Vou analisar o polinômio quadrático
. Para isso uso os coeficientes explicitamente:
,
e
.
Passo 4
Uma forma rápida é calcular o discriminante da quadrática. O discriminante é dado por
Substituindo
,
,
temos
Como
, a equação
não tem raízes reais. Além disso o coeficiente
é positivo, isto é, a parábola abre para cima. Quando uma parábola com
não tem raízes reais, ela fica inteira acima do eixo
, ou seja,
para todo
. Portanto
e dessa forma a desigualdade com
é satisfeita por todos os reais.
Passo 5
Como verificação alternativa (sem usar discriminante), é possível calcular o valor mínimo da parábola pelo vértice. A abscissa do vértice é
Avalio a função neste ponto:
Colocando em denominador comum
:
Como o mínimo da parábola é
e é positivo, conclui-se novamente que
para todo
.
Passo 6
Conclusão: o radicando
é sempre positivo para todo
, logo a raiz quadrada está definida para todos os reais. Portanto o domínio de
é todo o conjunto dos números reais.