Seja A B C D E F G H um paralelepípedo tal que A B=A D=A E=6. Estude as seções determinadas neste paralelepípedo pelos planos definidos pelos ternos de pontos ( \mathrm{M}, \mathrm{N}, \mathrm{P} ) abaixo:
\mathrm{M}=\mathrm{A}, \mathrm{N}= ponto médio de CG e \mathrm{P}= ponto médio de DH

Passo 1

O enunciado nos dá um paralelepípedo com os vértices A B C D E F G H e as arestas adjacentes a A satisfazendo
AB = AD = AE = 6.
Foi pedido para "estudar as seções determinadas neste paralelepípedo pelo plano definido pelo ternos de pontos (M,N,P)" com
M=A,\qquad N=\text{ponto médio de }CG,\qquad P=\text{ponto médio de }DH.éé
Portanto, o que precisamos descrever (isto é, o que o enunciado pede) é:
  • Qual é a forma da interseção do plano (A,N,P) com o paralelepípedo (que polígono aparece)?
  • Quais são os seus vértices (quando possível identificar)?
  • Em caso de possibilidade, determinar medidas relevantes (por exemplo comprimento dos lados, área).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • As arestas que saem de A têm comprimento 6: \;AB=AD=AE=6.
  • N é o ponto médio do segmento CG.
  • P é o ponto médio do segmento DH.
  • Não foi dada informação explícita sobre ângulos entre AB,AD,AE. Vou primeiro tratar o caso geral (paralelepípedo arbitrário com três vetores de módulo 6) para deduzir a forma topológica da seção; depois especializo ao caso mais comum e simples (o cubo, isto é, arestas mutuamente perpendiculares), que permite calcular comprimentos e área numericamente.

Passo 2

Vamos colocar o problema em linguagem de vetores — isso organiza a situação de forma clara e é uma ferramenta básica que costuma cair na prova.
Escolho A como origem do sistema de vetores e defino os vetores das arestas que partem de A:
\mathbf{u}=\overrightarrow{AB},\qquad \mathbf{v}=\overrightarrow{AD},\qquad \mathbf{w}=\overrightarrow{AE}.
Pelo enunciado vale \|\mathbf{u}\|=\|\mathbf{v}\|=\|\mathbf{w}\|=6, mas neste ponto NÃO estou supondo que \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w} sejam perpendiculares — apenas que têm comprimento 6.
Agora expressamos os pontos relevantes em função desses vetores:
  • A corresponde ao vetor \mathbf{0}.
  • B corresponde a \mathbf{u}.
  • D corresponde a \mathbf{v}.
  • C corresponde a \mathbf{u}+\mathbf{v}.
  • G corresponde a \mathbf{u}+\mathbf{v}+\mathbf{w}.
  • H corresponde a \mathbf{v}+\mathbf{w}.
Os pontos médios pedem cálculo de média de vetores:
  • O ponto médio de CG é
N=\frac{C+G}{2}=\frac{(\mathbf{u}+\mathbf{v})+(\mathbf{u}+\mathbf{v}+\mathbf{w})}{2}=\mathbf{u}+\mathbf{v}+\frac{1}{2}\mathbf{w}.
  • O ponto médio de DH é
P=\frac{D+H}{2}=\frac{\mathbf{v}+(\mathbf{v}+\mathbf{w})}{2}=\mathbf{v}+\frac{1}{2}\mathbf{w}.
Essas fórmulas de ponto médio são diretas: o ponto médio de dois vetores \mathbf{a} e \mathbf{b} é (\mathbf{a}+\mathbf{b})/2.

Passo 3

Agora investigamos a quadrilátero formado pelos pontos A,B,N,P. Calculemos os vetores que ligam esses pontos:
\overrightarrow{AB}=\mathbf{u}, \qquad \overrightarrow{PN}=N-P=(\mathbf{u}+\mathbf{v}+\tfrac{1}{2}\mathbf{w})-(\mathbf{v}+\tfrac{1}{2}\mathbf{w})=\mathbf{u}.
Logo \overrightarrow{PN}=\overrightarrow{AB}: o lado PN é paralelo e congruente a AB.
Também
\overrightarrow{AP}=P-A=\mathbf{v}+\tfrac{1}{2}\mathbf{w}, \qquad \overrightarrow{BN}=N-B=(\mathbf{u}+\mathbf{v}+\tfrac{1}{2}\mathbf{w})-\mathbf{u}=\mathbf{v}+\tfrac{1}{2}\mathbf{w}.
Logo \overrightarrow{AP}=\overrightarrow{BN}: o lado AP é paralelo e congruente a BN.
Quando num quadrilátero temos pares de lados opostos paralelos e congruentes, o quadrilátero é um paralelogramo. Portanto, em todo paralelepípedo (sem precisar que seja ortogonal) a interseção do plano que passa por A,N,P com o paralelepípedo contém o paralelogramo cujos vértices são exatamente A,B,N,P. Concluímos:
  • Em GERAL (paralelepípedo arbitrário com arestas de comprimento 6), a seção determinada pelo plano (A,N,P) é um paralelogramo cujos vértices, na ordem ao redor dele, são A, B, N, P.
Explicação didática curta: mostramos vetorialmente que a diagonal AB repete como PN e AP repete como BN, que é a definição vetorial de paralelogramo — aí está o “estudo” topológico da seção.

Passo 4

Agora vamos ao caso concreto e mais comum: suponha que o paralelepípedo seja um cubo (ou seja, que \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w} sejam mutuamente perpendiculares e com mesmo comprimento 6). Essa é a interpretação habitual quando se dá AB=AD=AE num problema geométrico sem outras informações, porque facilita obter medidas numéricas. Para esse caso escolho coordenadas ortogonais convenientes:
A=(0,0,0),\quad B=(6,0,0),\quad D=(0,6,0),\quad E=(0,0,6),
portanto
C=(6,6,0),\quad G=(6,6,6),\quad H=(0,6,6).
Com essas coordenadas, recomputamos N e P:
N=\text{médio de }C(6,6,0)\text{ e }G(6,6,6)=\bigl(6,6,3\bigr),é
P=\text{médio de }D(0,6,0)\text{ e }H(0,6,6)=\bigl(0,6,3\bigr).é

Passo 5

Vamos achar a equação do plano que passa por A(0,0,0), N(6,6,3) e P(0,6,3) — isso também ajuda a visualizar a seção.
Formamos dois vetores do plano a partir de A:
\overrightarrow{AN}=(6,6,3),\qquad \overrightarrow{AP}=(0,6,3).
O vetor normal \mathbf{n} ao plano é dado pelo produto vetorial \overrightarrow{AN}\times\overrightarrow{AP}. Calculando:
\overrightarrow{AN}\times\overrightarrow{AP} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[4pt] 6 & 6 & 3 \\[4pt] 0 & 6 & 3 \end{vmatrix} = (6\cdot 3-3\cdot 6)\mathbf{i} - (6\cdot 3-3\cdot 0)\mathbf{j} + (6\cdot 6-6\cdot 0)\mathbf{k} = (0,-18,36).
Podemos simplificar para \mathbf{n}=(0,-1,2). A equação do plano que passa pela origem com esse normal é
0\cdot x -1\cdot y +2\cdot z = 0,
isto é,
y=2z.
Essa equação é simples e muito útil: ela diz que, dentro do cubo 0\le x,y,z\le 6, os pontos do plano satisfazem y=2z.]

Passo 6

Interseção do plano y=2z com o cubo 0\le x,y,z\le 6. Como y=2z e y\le 6, segue 2z\le 6\Rightarrow z\le 3. Portanto os pontos do cubo que ficam no plano têm coordenadas
(x,y,z) \quad\text{com}\quad 0\le x\le 6,\quad y=2z,\quad 0\le z\le 3.
Isto é geometricamente um retângulo paralelo ao eixo x, com x variando de 0 a 6 e z variando de 0 a 3. Os seus vértices extremos são exatamente
A=(0,0,0),\quad B=(6,0,0),\quad N=(6,6,3),\quad P=(0,6,3).
Verificação de retângulo: os vetores laterais são
\overrightarrow{AB}=(6,0,0),\qquad \overrightarrow{AP}=(0,6,3),
e o produto escalar é
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AP}=6\cdot 0 + 0\cdot 6 + 0\cdot 3 = 0,
logo \overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AP}. Como já sabíamos que PN é paralelo a AB e BN paralelo a AP, isso prova que o paralelogramo é, nesse caso ortogonal, um retângulo.
Comprimentos dos lados:
\|\overrightarrow{AB}\|=6, \qquad \|\overrightarrow{AP}\|=\sqrt{0^2+6^2+3^2}=\sqrt{36+9}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}.
Área do retângulo:
\text{Área} = 6\cdot 3\sqrt{5}=18\sqrt{5}.Á

Passo 7

Resumo didático do que aprendeu/usar na prova:
  • Para estudar uma seção por um plano, colocar vetores para arestas ou coordenadas facilita muito: os pontos médios são médias das coordenadas/vetores.
  • Mostrar que um quadrilátero é paralelogramo pode ser feito vetorialmente verificando que pares opostos de lados são iguais (ou paralelos e com mesmo módulo).
  • Se as arestas forem perpendiculares (cubo), passar para coordenadas ortogonais e achar a equação do plano por produto vetorial é rápido; depois intersecta-se a região do cubo com a equação do plano para obter os vértices e cálculos métricos.
  • Fórmulas importantes usadas: ponto médio (\mathbf{a}+\mathbf{b})/2, produto vetorial para normal do plano, produto escalar para testar ortogonalidade, norma \|\cdot\| para comprimento.

Resposta

Em geral (paralelepípedo arbitrário com \|\overrightarrow{AB}\|=\|\overrightarrow{AD}\|=\|\overrightarrow{AE}\|=6) a seção pelo plano (A,N,P) é um paralelogramo cujos vértices são A,B,N,P.
Se o paralelepípedo for o cubo de aresta 6 (isto é, arestas mutuamente perpendiculares), a seção é um retângulo de vértices A(0,0,0),\,B(6,0,0),\,N(6,6,3),\,P(0,6,3) e área \;18\sqrt{5}.

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