Seja A B C D E F G H um paralelepípedo tal que A B=A D=A E=6. Estude as seções determinadas neste paralelepípedo pelos planos definidos pelos ternos de pontos ( \mathrm{M}, \mathrm{N}, \mathrm{P} ) abaixo: \mathrm{M}=\mathrm{A}, \mathrm{N}= ponto médio de CG e \mathrm{P}= ponto médio de DH
Passo 1
O enunciado nos dá um paralelepípedo com os vértices A B C D E F G H e as arestas adjacentes a A satisfazendo
AB = AD = AE = 6.
Foi pedido para "estudar as seções determinadas neste paralelepípedo pelo plano definido pelo ternos de pontos (M,N,P)" com
M=A,\qquad N=\text{ponto médio de }CG,\qquad P=\text{ponto médio de }DH.
Portanto, o que precisamos descrever (isto é, o que o enunciado pede) é:
Qual é a forma da interseção do plano (A,N,P) com o paralelepípedo (que polígono aparece)?
Quais são os seus vértices (quando possível identificar)?
Em caso de possibilidade, determinar medidas relevantes (por exemplo comprimento dos lados, área).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
As arestas que saem de A têm comprimento 6: \;AB=AD=AE=6.
N é o ponto médio do segmento CG.
P é o ponto médio do segmento DH.
Não foi dada informação explícita sobre ângulos entre AB,AD,AE. Vou primeiro tratar o caso geral (paralelepípedo arbitrário com três vetores de módulo 6) para deduzir a forma topológica da seção; depois especializo ao caso mais comum e simples (o cubo, isto é, arestas mutuamente perpendiculares), que permite calcular comprimentos e área numericamente.
Passo 2
Vamos colocar o problema em linguagem de vetores — isso organiza a situação de forma clara e é uma ferramenta básica que costuma cair na prova.
Escolho A como origem do sistema de vetores e defino os vetores das arestas que partem de A:
Pelo enunciado vale \|\mathbf{u}\|=\|\mathbf{v}\|=\|\mathbf{w}\|=6, mas neste ponto NÃO estou supondo que \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w} sejam perpendiculares — apenas que têm comprimento 6.
Agora expressamos os pontos relevantes em função desses vetores:
A corresponde ao vetor \mathbf{0}.
B corresponde a \mathbf{u}.
D corresponde a \mathbf{v}.
C corresponde a \mathbf{u}+\mathbf{v}.
G corresponde a \mathbf{u}+\mathbf{v}+\mathbf{w}.
H corresponde a \mathbf{v}+\mathbf{w}.
Os pontos médios pedem cálculo de média de vetores:
Logo \overrightarrow{AP}=\overrightarrow{BN}: o lado AP é paralelo e congruente a BN.
Quando num quadrilátero temos pares de lados opostos paralelos e congruentes, o quadrilátero é um paralelogramo. Portanto, em todo paralelepípedo (sem precisar que seja ortogonal) a interseção do plano que passa por A,N,P com o paralelepípedo contém o paralelogramo cujos vértices são exatamente A,B,N,P. Concluímos:
Em GERAL (paralelepípedo arbitrário com arestas de comprimento 6), a seção determinada pelo plano (A,N,P) é um paralelogramo cujos vértices, na ordem ao redor dele, são A, B, N, P.
Explicação didática curta: mostramos vetorialmente que a diagonal AB repete como PN e AP repete como BN, que é a definição vetorial de paralelogramo — aí está o “estudo” topológico da seção.
Passo 4
Agora vamos ao caso concreto e mais comum: suponha que o paralelepípedo seja um cubo (ou seja, que \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w} sejam mutuamente perpendiculares e com mesmo comprimento 6). Essa é a interpretação habitual quando se dá AB=AD=AE num problema geométrico sem outras informações, porque facilita obter medidas numéricas. Para esse caso escolho coordenadas ortogonais convenientes:
Podemos simplificar para \mathbf{n}=(0,-1,2). A equação do plano que passa pela origem com esse normal é
0\cdot x -1\cdot y +2\cdot z = 0,
isto é,
y=2z.
Essa equação é simples e muito útil: ela diz que, dentro do cubo 0\le x,y,z\le 6, os pontos do plano satisfazem y=2z.]
Passo 6
Interseção do plano y=2z com o cubo 0\le x,y,z\le 6. Como y=2z e y\le 6, segue 2z\le 6\Rightarrow z\le 3. Portanto os pontos do cubo que ficam no plano têm coordenadas
logo \overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AP}. Como já sabíamos que PN é paralelo a AB e BN paralelo a AP, isso prova que o paralelogramo é, nesse caso ortogonal, um retângulo.
Para estudar uma seção por um plano, colocar vetores para arestas ou coordenadas facilita muito: os pontos médios são médias das coordenadas/vetores.
Mostrar que um quadrilátero é paralelogramo pode ser feito vetorialmente verificando que pares opostos de lados são iguais (ou paralelos e com mesmo módulo).
Se as arestas forem perpendiculares (cubo), passar para coordenadas ortogonais e achar a equação do plano por produto vetorial é rápido; depois intersecta-se a região do cubo com a equação do plano para obter os vértices e cálculos métricos.
Fórmulas importantes usadas: ponto médio (\mathbf{a}+\mathbf{b})/2, produto vetorial para normal do plano, produto escalar para testar ortogonalidade, norma \|\cdot\| para comprimento.
Resposta
Em geral (paralelepípedo arbitrário com \|\overrightarrow{AB}\|=\|\overrightarrow{AD}\|=\|\overrightarrow{AE}\|=6) a seção pelo plano (A,N,P) é um paralelogramo cujos vértices são A,B,N,P.
Se o paralelepípedo for o cubo de aresta 6 (isto é, arestas mutuamente perpendiculares), a seção é um retângulo de vértices A(0,0,0),\,B(6,0,0),\,N(6,6,3),\,P(0,6,3) e área \;18\sqrt{5}.