Calcule os limites
lim x 2 x^2-4raizx+2-raiz3 x-2

Passo 1

Beleza, então temos um limite para calcular:
lim x 2 x^2-4raizx+2-raiz3 x-2
Esse tipo de problema está na matéria de Cálculo, mais especificamente em limites envolvendo expressões com raízes. Vamos precisar usar técnicas de álgebra para simplificar essa expressão e resolver o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos x = 2 diretamente na expressão:
  • No numerador: 2^2 - 4 = 4 - 4 = 0
  • No denominador: raiz2+2 - raiz3 cdot 2 - 2 = raiz4 - raiz4 = 2 - 2 = 0
Então, temos a forma indeterminada 00 , o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Para resolver essa indeterminação, uma estratégia comum é racionalizar o denominador. Racionalizar significa eliminar as raízes do denominador multiplicando pelo conjugado. O conjugado de raizx+2 - raiz3x-2 é raizx+2 + raiz3x-2 .

Passo 4

Vamos multiplicar o numerador e o denominador pela expressão conjugada:
x^2-4raizx+2-raiz3x-2 cdot raizx+2 + raiz3x-2raizx+2 + raiz3x-2 = (x^2-4)(raizx+2 + raiz3x-2)(raizx+2)^2 - (raiz3x-2)^2
Aqui, usamos a identidade (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 para simplificar o denominador.

Passo 5

Simplificando o denominador:
(raizx+2)^2 - (raiz3x-2)^2 = (x + 2) - (3x - 2) = x + 2 - 3x + 2 = -2x + 4 = -2(x - 2)
Agora, a expressão fica:
(x^2-4)(raizx+2 + raiz3x-2)-2(x - 2)

Passo 6

Observamos que x^2 - 4 pode ser fatorado como (x - 2)(x + 2) . Então, substituímos:
(x - 2)(x + 2)(raizx+2 + raiz3x-2)-2(x - 2)
Agora, podemos cancelar o termo (x - 2) que está no numerador e no denominador:
(x + 2)(raizx+2 + raiz3x-2)-2
Agora, substituímos x = 2 na expressão simplificada:
(2 + 2)(raiz2+2 + raiz3 cdot 2 - 2)-2 = 4(raiz4 + raiz4)-2 = 4(2 + 2)-2 = 4 cdot 4-2 = 16-2 = -8

Resposta

O limite é igual a -8.

Exercícios relacionados