Calcule os limites
lim x 3 2-raizx+1x^2-9

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão é calcular o limite quando x se aproxima de 3 para a expressão 2 - raizx+1x^2 - 9 . Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente sobre limites e regras de derivação, para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir x = 3 diretamente na expressão para ver o que acontece:
2 - raiz3+13^2 - 9 = 2 - raiz49 - 9 = 2 - 20 = 00
Obtivemos uma forma indeterminada 00 , o que significa que precisamos usar outra técnica para resolver esse limite. Uma das ferramentas que podemos usar nesse caso é a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital diz que se o limite de f(x)g(x) resulta em 00 ou inftyinfty , então podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite das derivadas:
limx to c f(x)g(x) = limx to c f'(x)g'(x)
Vamos aplicar isso ao nosso problema.

Passo 4

Primeiro, vamos derivar o numerador f(x) = 2 - raizx+1 :
f'(x) = ddx(2) - ddx(raizx+1) = 0 - 12raizx+1 = -12raizx+1
Agora, derivamos o denominador g(x) = x^2 - 9 :
g'(x) = ddx(x^2) - ddx(9) = 2x - 0 = 2x

Passo 5

Aplicando a Regra de L’Hôpital, temos:
limx to 3 2 - raizx+1x^2 - 9 = limx to 3 f'(x)g'(x) = limx to 3 -12raizx+12x = limx to 3 -14xraizx+1

Passo 6

Agora, substituímos x = 3 na expressão simplificada:
-14 times 3 times raiz3+1 = -112 times 2 = -124

Resposta

limx 3 2 - raizx+1x^2-9 = -124

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