Calcule os limites abaixo, caso existam:
lim t -1(t+1, t^2-2 t, t^3+3 t+1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular o limite do vetor (t+1, t^2-2 t, t^3+3 t+1) quando t se aproxima de -1. Isso entra no tópico de Limites de Funções Vetoriais, onde a gente analisa o comportamento de cada componente da função separadamente. Para resolver isso, vamos calcular o limite de cada uma das três funções dadas quando t tende a -1.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a primeira componente do vetor: t + 1. A teoria diz que para funções polinomiais, que são funções como essa, o limite quando t se aproxima de um valor específico é simplesmente o valor da função nesse ponto. Então, substituímos t por -1:
limt -1 (t + 1) = (-1) + 1 = 0

Passo 3

Agora, vamos para a segunda componente: t^2 - 2t. Novamente, aplicamos a mesma ideia para funções polinomiais. Substituímos t por -1:
limt -1 (t^2 - 2t) = (-1)^2 - 2(-1) = 1 + 2 = 3

Passo 4

Por último, temos a terceira componente: t^3 + 3t + 1. Mais uma vez, uma função polinomial. Vamos substituir t por -1:
limt -1 (t^3 + 3t + 1) = (-1)^3 + 3(-1) + 1 = -1 - 3 + 1 = -3

Resposta

Portanto, o limite do vetor quando t se aproxima de -1 é:
lim t -1(t+1, t^2-2 t, t^3+3 t+1) = (0, 3, -3)

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