Calcule os limites abaixo, caso existam:
lim t 0(log (1-t), log (1+t))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular os limites de duas funções logarítmicas quando t se aproxima de 0. O conteúdo principal aqui é Cálculo de Limites, e vamos usar propriedades dos logaritmos e limites para chegar nas respostas.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o primeiro limite: limt to 0 log(1 - t) . A função logarítmica log(x) está definida para x > 0 , então precisamos garantir que 1 - t > 0 , o que é válido para t próximo de 0.

Passo 3

Sabemos que quando t se aproxima de 0, 1 - t se aproxima de 1. E o logaritmo de 1 é 0, porque log(1) = 0 . Então, intuitivamente, a gente já tem uma boa ideia que esse limite vai ser 0.

Passo 4

Para confirmar, podemos usar a propriedade dos limites que diz que limx to a f(x) = f(a) , se f é contínua em a . A função log(x) é contínua em x = 1 , então:
limt to 0 log(1 - t) = log(1 - 0) = log(1) = 0

Passo 5

Agora vamos para o segundo limite: limt to 0 log(1 + t) . De novo, a função log(x) está definida para x > 0 , então 1 + t > 0 , o que é verdade para t próximo de 0.

Passo 6

Quando t se aproxima de 0, 1 + t também se aproxima de 1. Sabemos que log(1) = 0 , então esperamos que esse limite também seja 0.

Passo 7

Usando a mesma propriedade de continuidade da função logarítmica, temos:
limt to 0 log(1 + t) = log(1 + 0) = log(1) = 0

Resposta

limt to 0 log(1 - t) = 0 e limt to 0 log(1 + t) = 0

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