Calcule os limites abaixo, caso existam. Caso não existam, justifique.
lim x -1 |2 x-4|-6sen(x+1)

Passo 1

O enunciado pede para calcular limxto -1|2x-4|-6sin(x+1). É um limite na forma 0/0, envolvendo valor absoluto e função trigonométrica, então vamos usar definição do módulo e o limite trigonométrico fundamental.

Passo 2

Substituindo x=-1 diretamente, temos |2(-1)-4|-6=6-6=0 e sin((-1)+1)=sin0=0, ou seja, é uma indeterminação 0/0.

Passo 3

Precisamos eliminar o valor absoluto. Note que para x próximo de -1, escrevemos 2x-4=-6+2(x+1). Em uma vizinhança de x=-1, o termo -6+2(x+1) é sempre negativo, pois |2(x+1)|<6. Assim,
|2x-4|=-(2x-4). Substituindo no numerador:
|2x-4|-6=-(2x-4)-6=4-2x-6=-2x-2=-2(x+1)

Passo 4

Então o limite vira
$$\lim_{x\to -1}\frac{|2x-4|-6}{\sin(x+1)}=\lim_{x\to -1}\frac{-2(x+1)}{\sin(x+1)}=-2\lim_{u\to 0}\frac{u}{\sin u},
$$ onde fizemos limxto -1|2x-4|-6sin(x+1)=limxto -1-2(x+1)sin(x+1)=-2limuto 0usin u, . Usando o limite fundamental u=x+1, concluímos que o limite existe e vale limuto 0usin u=1.

Resposta

-2

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