Derive as funções:
g(x)=2 x+tan (x2)(4 x+1)^3

Passo 1

Nesse exercício, a missão é derivar a função
g(x)=\frac{2x+\tan\bigl(\frac{x}{2}\bigr)}{(4x+1)^3}. O conteúdo principal envolve a regra do quociente e também a derivação de funções compostas como \tan(u) (regra da cadeia) e potências de expressão linear.

Passo 2

Para usar a regra do quociente, vamos definir numerador e denominador:
N(x)=2x+tanl(x2r),
D(x)=(4x+1)^3
A regra do quociente diz que
g'(x)=N'(x)D(x)-N(x)D'(x)[D(x)]^2

Passo 3

Agora calculamos as derivadas de cada parte:
Para o numerador:
  • ddx[2x]=2.
  • ddxl[tan(x/2)r]=sec^2(x/2)cdotddx(x/2)=12sec^2l(x2r).
    Logo,
N'(x)=2+12sec^2l(x2r)

Passo 4

Para o denominador:
Usamos a regra da potência composta. Se D(x)=(4x+1)^3, então
D'(x)=3(4x+1)^2cdotddx(4x+1)=3(4x+1)^2cdot4=12(4x+1)^2

Passo 5

Agora aplicamos a regra do quociente:
g'(x)=l(2+tfrac12sec^2(tfracx2)r)(4x+1)^3 - (2x+tan(tfracx2)),12(4x+1)^2(4x+1)^6

Passo 6

Para simplificar, fatoramos (4x+1)^2 no numerador e cancelamos com parte do denominador:
g'(x)=(4x+1)^2l[(2+tfrac12sec^2(tfracx2))(4x+1)-12(2x+tan(tfracx2))r](4x+1)^6 =(2+tfrac12sec^2(tfracx2))(4x+1)-12(2x+tan(tfracx2))(4x+1)^4

Resposta

g'(x)=(4x+1)l(2+tfrac12sec^2(tfracx2)r)-12l(2x+tanl(tfracx2r)r)(4x+1)^4

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