Seja g: R R uma função diferenciável tal que g(0)=-1, g(1)=13, g^prime(0)=2 e g^prime(1)=15. Considere f(x)=e^3 x g(5 x+sen(pi2+x)).
Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa x=0.

Passo 1

O exercício pede a equação da reta tangente ao gráfico de f(x)=e^3x,gl(5x+sin(tfracpi2+x)r) no ponto de abscissa x=0. Vamos usar regras de derivação: produto e cadeia, além dos valores dados de g.

Passo 2

Calcular o valor de f(0). Temos
f(0)=e^0,gl(5cdot0+sin(tfracpi2+0)r)=g(sin(tfracpi2))=g(1)=tfrac13

Passo 3

Definir a função interna u(x)=5x+sin(tfracpi2+x) e calcular sua derivada. Como cos(tfracpi2+x)=-sin x,
u'(x)=5+cosl(tfracpi2+xr)=5-sin x,
logo u'(0)=5-sin0=5.

Passo 4

Aplicar a regra do produto e da cadeia para obter f'(x):
f'(x)=ddxl(e^3xr),g(u(x))+e^3x,g'(u(x)),u'(x) =3e^3xg(u(x))+e^3xg'(u(x))u'(x)

Passo 5

Avaliar f'(x) em x=0:
f'(0)=3e^0g(1)+e^0g'(1)cdot5=3cdottfrac13+tfrac15cdot5=1+1=2

Passo 6

Montar a reta tangente na forma y=f(0)+f'(0)x:
y=tfrac13+2x

Resposta

y=2x+tfrac13

Exercícios relacionados