Calcule os limites abaixo, caso existam:
\lim _{x \rightarrow 5} \frac{4}{x-5}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to5}\frac{4}{x-5}
Isso envolve o conceito de limite infinito e de assíntota vertical em x=5. Como a função não está definida em x=5, precisamos examinar os limites laterais.

Passo 2

Analisando o limite pela direita, x\to5^+. Nesse caso x-5 é um número positivo muito pequeno, então
\frac{4}{x-5}\to +\infty.

Passo 3

Analisando o limite pela esquerda, x\to5^-. Agora x-5 é um número negativo muito pequeno, logo
\frac{4}{x-5}\to -\infty.

Passo 4

Como os limites laterais não coincidem ( +\infty\neq -\infty), o limite de duas vias
\displaystyle\lim_{x\to5}\frac{4}{x-5}
não existe.

Resposta

O limite não existe, pois
\lim_{x\to5^-}\frac{4}{x-5}=-\infty \quad\text{e}\quad \lim_{x\to5^+}\frac{4}{x-5}=+\infty.

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