Calcule os limites abaixo, caso existam:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x\left(x^{2}-1\right)}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede
\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{x\bigl(x^{2}-1\bigr)}{x^{2}}.
O conteúdo aqui é álgebra elementar para simplificar a expressão e, como veremos, será preciso analisar os limites laterais ao simplificar, pois surge uma descontinuidade em x=0.

Passo 2

Simplificamos algebricamente para entender o comportamento da função quando x se aproxima de zero (lembrando que em x=0 a expressão original não está definida):
\frac{x(x^{2}-1)}{x^{2}} =\frac{x^{3}-x}{x^{2}} =x-\frac{1}{x}.

Passo 3

Analisamos o limite pela direita, x\to0^{+}. Nesse caso x vai a zero e \tfrac1x vai a +\infty, então
\lim_{x\to0^{+}}\bigl(x-\tfrac1x\bigr) =0 - (+\infty) =-\infty.

Passo 4

Analisamos o limite pela esquerda, x\to0^{-}. Agora x vai a zero e \tfrac1x vai a -\infty, daí
\lim_{x\to0^{-}}\bigl(x-\tfrac1x\bigr) =0 - (-\infty) =+\infty.

Passo 5

Como as duas limites laterais são diferentes (um é -\infty e o outro é +\infty), o limite comum \lim_{x\to0}\frac{x(x^{2}-1)}{x^{2}} não existe.

Resposta

O limite não existe.

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