Calcule os limites abaixo:
(d) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \operatorname{sen} x}{1-\cos x}

Passo 1

O enunciado pede o valor do seguinte limite quando x tende a zero:
\lim_{x\to 0} \frac{x\sin x}{1-\cos x}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A variável é x e o ponto de interesse é x=0.
  • Quando x\to0 temos \sin x\to0 e \cos x\to1, portanto o numerador e o denominador tendem a zero: trata‑se de uma indeterminação do tipo 0/0.
  • O objetivo é simplificar a expressão e usar limites trigonométricos padrão para calcular o valor.

Passo 2

Vamos lembrar e explicar duas identidades trigonométricas úteis (duas fórmulas de ângulo duplo):
  • A identidade para o cosseno em termos do seno é
1-\cos x = 2\sin^2\!\left(\frac{x}{2}\right).
Explicação rápida: \cos(2a)=1-2\sin^2 a. Tomando a=\dfrac{x}{2} obtemos a fórmula acima.
  • A identidade para o seno é
\sin x = 2\sin\!\left(\frac{x}{2}\right)\cos\!\left(\frac{x}{2}\right).
Explicação rápida: \sin(2a)=2\sin a\cos a. Novamente toma‑se a=\dfrac{x}{2}.
Essas identidades são úteis porque transformam 1-\cos x em uma expressão com \sin\!\left(\dfrac{x}{2}\right), e isso nos permite usar o limite padrão
\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1,
que é um resultado básico de trigonometria-limites.

Passo 3

Vamos substituir as identidades na expressão e simplificar passo a passo.
Começando com
\frac{x\sin x}{1-\cos x},
usar \sin x = 2\sin\!\left(\dfrac{x}{2}\right)\cos\!\left(\dfrac{x}{2}\right) e 1-\cos x = 2\sin^2\!\left(\dfrac{x}{2}\right). Substituindo:
\frac{x\cdot 2\sin\!\left(\dfrac{x}{2}\right)\cos\!\left(\dfrac{x}{2}\right)}{2\sin^2\!\left(\dfrac{x}{2}\right)}.
Cancelar o fator 2 e uma potência de \sin\!\left(\dfrac{x}{2}\right):
\frac{x\cos\!\left(\dfrac{x}{2}\right)}{\sin\!\left(\dfrac{x}{2}\right)}.
Agora escrevemos x como 2\cdot\frac{x}{2} para relacionar com o limite padrão:
\frac{x\cos\!\left(\dfrac{x}{2}\right)}{\sin\!\left(\dfrac{x}{2}\right)} = \cos\!\left(\frac{x}{2}\right)\cdot\frac{x}{\sin\!\left(\dfrac{x}{2}\right)} = \cos\!\left(\frac{x}{2}\right)\cdot 2\cdot\frac{\tfrac{x}{2}}{\sin\!\left(\dfrac{x}{2}\right)}.

Passo 4

Agora aplicamos limites conhecidos e propriedades de limites.
Conhecimentos usados:
  • \displaystyle\lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1. Portanto \displaystyle\lim_{u\to0}\frac{u}{\sin u}=1.
  • \displaystyle\lim_{x\to0}\cos\!\left(\frac{x}{2}\right)=\cos 0=1.
  • Se \lim f(x)=A e \lim g(x)=B existem, então \lim f(x)g(x)=AB.
Tomando u=\dfrac{x}{2}. Quando x\to0 temos u\to0, logo
\lim_{x\to0}\frac{\tfrac{x}{2}}{\sin\!\left(\tfrac{x}{2}\right)}=1.
Assim o limite da expressão que encontramos em Passo 3 é
\lim_{x\to0}\left[\cos\!\left(\frac{x}{2}\right)\cdot 2\cdot\frac{\tfrac{x}{2}}{\sin\!\left(\tfrac{x}{2}\right)}\right] = \left(\lim_{x\to0}\cos\!\left(\frac{x}{2}\right)\right)\cdot 2\cdot \left(\lim_{x\to0}\frac{\tfrac{x}{2}}{\sin\!\left(\tfrac{x}{2}\right)}\right) = 1\cdot 2\cdot 1 = 2.

Passo 5

Interpretação final e reforço didático:
  • A indeterminação inicial 0/0 foi resolvida usando identidades trigonométricas que permitiram reduzir o problema ao limite padrão \sin u / u.
  • Esse método é preferível em provas porque evita derivadas (Regra de L’Hôpital) e usa identidades elementares e um limite básico que é frequentemente memorizado.
  • Alternativa rápida: usar séries de Taylor teria dado também o mesmo resultado, pois \sin x\sim x e 1-\cos x\sim \tfrac{x^2}{2}, daí \dfrac{x\sin x}{1-\cos x}\sim \dfrac{x\cdot x}{x^2/2}=2.

Resposta

2

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