Calcule os limites abaixo:
(d)
(d)
Passo 1
O enunciado pede o valor do seguinte limite quando
tende a zero:
Informações dadas e observações iniciais:
- A variável é
e o ponto de interesse é . - Quando
temos e , portanto o numerador e o denominador tendem a zero: trata‑se de uma indeterminação do tipo . - O objetivo é simplificar a expressão e usar limites trigonométricos padrão para calcular o valor.
Passo 2
Vamos lembrar e explicar duas identidades trigonométricas úteis (duas fórmulas de ângulo duplo):
- A identidade para o cosseno em termos do seno é
Explicação rápida:
. Tomando
obtemos a fórmula acima.
- A identidade para o seno é
Explicação rápida:
. Novamente toma‑se
.
Essas identidades são úteis porque transformam
em uma expressão com
, e isso nos permite usar o limite padrão
que é um resultado básico de trigonometria-limites.
Passo 3
Vamos substituir as identidades na expressão e simplificar passo a passo.
Começando com
usar
e
. Substituindo:
Cancelar o fator
e uma potência de
:
Agora escrevemos
como
para relacionar com o limite padrão:
Passo 4
Agora aplicamos limites conhecidos e propriedades de limites.
Conhecimentos usados:
-
. Portanto . -
. - Se
e existem, então .
Tomando
. Quando
temos
, logo
Assim o limite da expressão que encontramos em Passo 3 é
Passo 5
Interpretação final e reforço didático:
- A indeterminação inicial
foi resolvida usando identidades trigonométricas que permitiram reduzir o problema ao limite padrão . - Esse método é preferível em provas porque evita derivadas (Regra de L’Hôpital) e usa identidades elementares e um limite básico que é frequentemente memorizado.
- Alternativa rápida: usar séries de Taylor teria dado também o mesmo resultado, pois
e , daí .
Resposta
2