Exercício 17. Seja u(r, t)=t^{\alpha} e^{-\frac{r^{2}}{4 t}}. Determine um valor de \alpha para que u satisfaça à seguinte equação diferencial parcial:
\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r}\left[r^{2} \frac{\partial u}{\partial r}\right]

Passo 1

O enunciado dá a função u(r,t)=t^{\alpha} e^{-\frac{r^{2}}{4t}} e pede para determinar um valor de \alpha tal que u satisfaça a equação diferencial parcial
\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\!\left[r^{2}\frac{\partial u}{\partial r}\right].
Informações relevantes fornecidas:
  • A função depende de r e t por meio do fator t^{\alpha} e do exponencial e^{-\frac{r^{2}}{4t}}.
  • A equação envolve \partial u/\partial t e derivadas em r (primeira e depois uma combinação com r^{2}).
    O objetivo é calcular as derivadas parciais necessárias, substituir na equação e obter o valor de \alpha que torna a identidade verdadeira para todos r e t>0.

Passo 2

Vamos calcular \partial u/\partial t. Primeiro uso a regra do produto e a regra da cadeia. Escrevo u(r,t)=A(t)\,B(r,t) com A(t)=t^{\alpha} e B(r,t)=e^{-\frac{r^{2}}{4t}}.
  • Derivada de A: A'(t)=\alpha t^{\alpha-1}.
  • Derivada de B em relação a t: pela regra da cadeia, se B=e^{\varphi(t)} então B_t=B\,\phi_t. Aqui \varphi(t)=-\dfrac{r^{2}}{4t}, logo
\phi_t=\frac{d}{dt}\left(-\frac{r^{2}}{4t}\right)=\frac{r^{2}}{4t^{2}}.
Portanto B_t=B\cdot\frac{r^{2}}{4t^{2}}.
Usando produto:
\frac{\partial u}{\partial t}=A'(t)B + A(t)B_t = \alpha t^{\alpha-1} e^{-\frac{r^{2}}{4t}} + t^{\alpha} e^{-\frac{r^{2}}{4t}}\cdot\frac{r^{2}}{4t^{2}}.

Passo 3

Fatorando t^{\alpha-1} e^{-\frac{r^{2}}{4t}} em \partial u/\partial t para simplificar:
\frac{\partial u}{\partial t} = t^{\alpha-1} e^{-\frac{r^{2}}{4t}}\left(\alpha + \frac{r^{2}}{4t}\right).
Expliquei aqui cada termo: \alpha t^{\alpha-1} e^{-\frac{r^{2}}{4t}} veio de A'B e o segundo termo de AB_t; ao fatorar sobra t^{\alpha-1} e^{-\frac{r^{2}}{4t}} multiplicando a soma entre \alpha e \dfrac{r^{2}}{4t}.

Passo 4

Agora calculo \dfrac{\partial u}{\partial r}. Como t^{\alpha} é constante em relação a r, uso apenas a derivada do expo­nencial. Com \varphi(r,t)=-\dfrac{r^{2}}{4t} tenho
\phi_r = \frac{d}{dr}\left(-\frac{r^{2}}{4t}\right) = -\frac{r}{2t}.
Pela regra da cadeia,
\frac{\partial u}{\partial r}=t^{\alpha} e^{-\frac{r^{2}}{4t}}\cdot\left(-\frac{r}{2t}\right).
Fatorando t^{\alpha-1} e^{-\frac{r^{2}}{4t}} obtemos
\frac{\partial u}{\partial r}= -\frac{r}{2}\,t^{\alpha-1} e^{-\frac{r^{2}}{4t}}.

Passo 5

Multiplico por r^{2} (porque a equação pede r^{2}\frac{\partial u}{\partial r}):
r^{2}\frac{\partial u}{\partial r} = r^{2}\left(-\frac{r}{2}\,t^{\alpha-1} e^{-\frac{r^{2}}{4t}}\right) = -\frac{1}{2}\,t^{\alpha-1} e^{-\frac{r^{2}}{4t}}\,r^{3}.

Passo 6

Agora calculo \dfrac{\partial}{\partial r}\!\left[r^{2}\dfrac{\partial u}{\partial r}\right]. É a derivada em r do produto -\dfrac{1}{2}t^{\alpha-1} e^{-\frac{r^{2}}{4t}} r^{3}. O fator -\dfrac{1}{2}t^{\alpha-1} é constante em r, então aplico produto e cadeia apenas ao produto e^{-\frac{r^{2}}{4t}} r^{3}:
\frac{\partial}{\partial r}\!\left[r^{2}\frac{\partial u}{\partial r}\right] = -\frac{1}{2}t^{\alpha-1}\frac{d}{dr}\!\left(e^{-\frac{r^{2}}{4t}} r^{3}\right).
Pelo produto:
\frac{d}{dr}\!\left(e^{-\frac{r^{2}}{4t}} r^{3}\right) = e^{-\frac{r^{2}}{4t}}\cdot 3r^{2} + r^{3}\cdot e^{-\frac{r^{2}}{4t}}\cdot\left(-\frac{r}{2t}\right).
Simplificando o segundo termo:
r^{3}\cdot\left(-\frac{r}{2t}\right) = -\frac{r^{4}}{2t}.
Então
\frac{d}{dr}\!\left(e^{-\frac{r^{2}}{4t}} r^{3}\right) = e^{-\frac{r^{2}}{4t}}\left(3r^{2} - \frac{r^{4}}{2t}\right).
Multiplicando pelo fator -\dfrac{1}{2}t^{\alpha-1}
\frac{\partial}{\partial r}\!\left[r^{2}\frac{\partial u}{\partial r}\right] = -\frac{1}{2}t^{\alpha-1} e^{-\frac{r^{2}}{4t}}\left(3r^{2} - \frac{r^{4}}{2t}\right).

Passo 7

Divido por r^{2} para obter o lado direito da equação original:
\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\!\left[r^{2}\frac{\partial u}{\partial r}\right] = -\frac{1}{2}t^{\alpha-1} e^{-\frac{r^{2}}{4t}}\left(3 - \frac{r^{2}}{2t}\right).
Multiplicando o sinal e reorganizando os termos:
\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\!\left[r^{2}\frac{\partial u}{\partial r}\right] = t^{\alpha-1} e^{-\frac{r^{2}}{4t}}\left(-\frac{3}{2} + \frac{r^{2}}{4t}\right).

Passo 8

Temos agora expressões para os dois lados da equação. Do Passo 3:
\frac{\partial u}{\partial t}= t^{\alpha-1} e^{-\frac{r^{2}}{4t}}\left(\alpha + \frac{r^{2}}{4t}\right).
Do Passo 7:
\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\!\left[r^{2}\frac{\partial u}{\partial r}\right] = t^{\alpha-1} e^{-\frac{r^{2}}{4t}}\left(-\frac{3}{2} + \frac{r^{2}}{4t}\right).
Igualando os dois lados (a equação pede que sejam idênticos para todos r e t>0) e cancelando o fator comum t^{\alpha-1} e^{-\frac{r^{2}}{4t}} (que é não-nulo para t>0) obtemos:
\alpha + \frac{r^{2}}{4t} = -\frac{3}{2} + \frac{r^{2}}{4t}.
Observe que o termo \dfrac{r^{2}}{4t} aparece dos dois lados e se cancela, restando
\alpha = -\frac{3}{2}.

Passo 9

Conclusão lógica: para \alpha = -\dfrac{3}{2} a igualdade se verifica para todos r e t>0. Portanto esse é o valor buscado. (Se preferir, pode substituir \alpha=-\tfrac{3}{2} nas expressões obtidas e conferir que os dois lados coincidem exatamente.)

Resposta

\alpha=-\dfrac{3}{2}

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