Exercício 17. Seja
. Determine um valor de
para que
satisfaça à seguinte equação diferencial parcial:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar um valor de
tal que
satisfaça a equação diferencial parcial
Informações relevantes fornecidas:
- A função depende de
e por meio do fator e do exponencial . - A equação envolve
e derivadas em (primeira e depois uma combinação com ).
O objetivo é calcular as derivadas parciais necessárias, substituir na equação e obter o valor deque torna a identidade verdadeira para todos e .
Passo 2
Vamos calcular
. Primeiro uso a regra do produto e a regra da cadeia. Escrevo
com
e
.
- Derivada de
: . - Derivada de
em relação a : pela regra da cadeia, se então . Aqui , logo
Portanto
.
Usando produto:
Passo 3
Fatorando
em
para simplificar:
Expliquei aqui cada termo:
veio de
e o segundo termo de
; ao fatorar sobra
multiplicando a soma entre
e
.
Passo 4
Agora calculo
. Como
é constante em relação a
, uso apenas a derivada do exponencial. Com
tenho
Pela regra da cadeia,
Fatorando
obtemos
Passo 5
Multiplico por
(porque a equação pede
):
Passo 6
Agora calculo
. É a derivada em
do produto
. O fator
é constante em
, então aplico produto e cadeia apenas ao produto
:
Pelo produto:
Simplificando o segundo termo:
Então
Multiplicando pelo fator
dá
Passo 7
Divido por
para obter o lado direito da equação original:
Multiplicando o sinal e reorganizando os termos:
Passo 8
Temos agora expressões para os dois lados da equação. Do Passo 3:
Do Passo 7:
Igualando os dois lados (a equação pede que sejam idênticos para todos
e
) e cancelando o fator comum
(que é não-nulo para
) obtemos:
Observe que o termo
aparece dos dois lados e se cancela, restando
Passo 9
Conclusão lógica: para
a igualdade se verifica para todos
e
. Portanto esse é o valor buscado. (Se preferir, pode substituir
nas expressões obtidas e conferir que os dois lados coincidem exatamente.)